Страница 143 номер 15.9, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямая призма
\(ABCD\) — ромб, \(\angle BAD = \alpha\), \(\alpha < 90^\circ\)
шар вписан в призму

Найти: \(\varphi\) — угол между меньшей диагональю призмы и плоскостью её основания.

Решение: Пусть \(AB = a\), \(O_1\) — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов. Из прямоугольного треугольника \(ABO_1\) (\(\angle BAO_1 = \frac{\alpha}{2}\)): \(BO_1 = a\sin\frac{\alpha}{2}\), \(AO_1 = a\cos\frac{\alpha}{2}\), поэтому \(BD = 2a\sin\frac{\alpha}{2}\), \(AC = 2a\cos\frac{\alpha}{2}\). Угол \(\alpha\) острый, поэтому \(\frac{\alpha}{2} < 45^\circ\) и \(\sin\frac{\alpha}{2} < \cos\frac{\alpha}{2}\), то есть \(BD < AC\).

Боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны плоскости основания и равны между собой, поэтому \(BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 < AC^2 + CC_1^2 = AC_1^2\); кроме того, \(BD_1 = B_1D\) и \(AC_1 = A_1C\) как диагонали прямоугольников \(BB_1D_1D\) и \(AA_1C_1C\). Значит, меньшая диагональ призмы — \(BD_1\). Прямая \(DD_1\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(BD\) — проекция \(BD_1\) на эту плоскость, и искомый угол \(\varphi = \angle D_1BD\).

Поскольку в прямую призму вписан шар, то в основание призмы можно вписать окружность и диаметр этой окружности равен диаметру шара, т. е. боковому ребру призмы. Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен высоте ромба: противолежащие стороны \(AD\) и \(BC\) параллельны и касаются окружности. Проведём высоту \(BE\) ромба; угол \(A\) острый, поэтому точка \(E\) лежит на стороне \(AD\).

Из прямоугольного треугольника \(ABE\): \(BE = AB\sin\alpha = a\sin\alpha\), поэтому \(DD_1 = BE = a\sin\alpha\). Из прямоугольного треугольника \(BDD_1\) (\(\angle BDD_1 = 90^\circ\)):

\[\operatorname{tg}\varphi = \frac{DD_1}{BD} = \frac{a\sin\alpha}{2a\sin\frac{\alpha}{2}} = \frac{2a\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2a\sin\frac{\alpha}{2}} = \cos\frac{\alpha}{2}.\]

Угол \(\varphi\) острый, поэтому \(\varphi = \operatorname{arctg}\left(\cos\frac{\alpha}{2}\right)\).

Ответ: \(\operatorname{arctg}\left(\cos\frac{\alpha}{2}\right)\).