Страницы 142-143 номер 15.6, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — прямая призма
\(AB = BC\)
\(BD\) — высота треугольника \(ABC\), \(BD = h\)
\(\angle ABD = \alpha\)
в призму можно вписать шар

Найти: \(AA_1\) — высоту призмы.

Решение: Основание прямой призмы \(ABCA_1B_1C_1\) — равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\); его высота \(BD = h\), проведённая к основанию, образует с боковой стороной \(AB\) угол \(\alpha\), и в призму можно вписать шар. Если в прямую призму можно вписать сферу, то в основание призмы можно вписать окружность радиусом, равным радиусу сферы, а высота призмы равна диаметру сферы. Значит, радиус \(r\) вписанного шара (его центр — точка \(O\)) равен радиусу окружности, вписанной в треугольник \(ABC\), а высота призмы \(AA_1 = 2r\).

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) высота \(BD\), проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой угла \(ABC\), поэтому \(AD = DC\), а центр \(O_1\) вписанной окружности лежит на \(BD\). Поскольку \(O_1D \perp AC\), точка \(D\) — точка касания окружности со стороной \(AC\) и \(O_1D = r\).

Из прямоугольного треугольника \(ABD\) (\(\angle ADB = 90^\circ\)): \(AD = BD \operatorname{tg} \angle ABD = h\operatorname{tg}\alpha\), \(\angle BAD = 90^\circ - \alpha\). Центр вписанной окружности лежит и на биссектрисе угла \(BAC\), поэтому \(\angle O_1AD = \frac{90^\circ - \alpha}{2} = 45^\circ - \frac{\alpha}{2}\). Из прямоугольного треугольника \(ADO_1\) (\(\angle ADO_1 = 90^\circ\)):

\[\begin{aligned} r &= O_1D = AD \operatorname{tg} \angle O_1AD = h\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right); \\ AA_1 &= 2r = 2h\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right). \end{aligned}\]

Ответ: \(2h\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)\).