Страница 136 номер 14.35, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан тетраэдр \(DABC\). В грани \(ADB\) проведены высоты \(AA_1\) и \(BB_1\), в грани \(BDC\) — высоты \(BB_2\) и \(CC_1\) и в грани \(CDA\) — высоты \(CC_2\) и \(AA_2\). Докажите, что прямые \(A_1B_1\), \(C_1B_2\) и \(A_2C_2\) параллельны одной плоскости.
В условии говорится о прямых \(A_1B_1\), \(C_1B_2\) и \(A_2C_2\), поэтому плоские углы тетраэдра при вершине \(D\) не прямые: например, если \(\angle ADB = 90^\circ\), то основания \(A_1\) и \(B_1\) высот \(AA_1\) и \(BB_1\) грани \(ADB\) совпадают с вершиной \(D\), и прямая \(A_1B_1\) не определена. Значит, основания высот отличны от точки \(D\): точки \(A_1\) и \(C_1\) лежат на прямой \(DB\), точки \(B_1\) и \(C_2\) — на прямой \(DA\), точки \(B_2\) и \(A_2\) — на прямой \(DC\).
Около тетраэдра можно описать сферу. Пусть \(\tau\) — плоскость, касающаяся этой сферы в точке \(D\).
У плоскости \(ADB\) со сферой больше одной общей точки, поэтому расстояние от центра сферы до этой плоскости меньше радиуса, и плоскость \(ADB\) пересекает сферу по окружности \(\omega\), проходящей через точки \(A\), \(D\), \(B\), — по окружности, описанной около треугольника \(ADB\). Плоскости \(ADB\) и \(\tau\) различны (в плоскости \(ADB\) лежат точки \(A\) и \(B\) сферы, а у плоскости \(\tau\) со сферой только одна общая точка \(D\)) и имеют общую точку \(D\), поэтому пересекаются по прямой \(t\). Прямая \(t\) лежит в плоскости \(\tau\) и потому имеет со сферой, а значит, и с окружностью \(\omega\) единственную общую точку \(D\); прямая \(t\) и окружность \(\omega\) лежат в плоскости \(ADB\), поэтому \(t\) — касательная к окружности \(\omega\) в точке \(D\).
Пусть \(T\) — точка прямой \(t\), лежащая по другую сторону от прямой \(DB\), чем точка \(A\). Угол \(TDB\) между касательной и хордой \(DB\) измеряется половиной дуги \(DB\), заключённой внутри этого угла, — дуги, не содержащей точку \(A\); вписанный угол \(DAB\) опирается на ту же дугу, поэтому \(\angle TDB = \angle DAB\).
Если угол \(ADB\) острый, то точка \(A_1\) лежит на луче \(DB\), точка \(B_1\) — на луче \(DA\), и из прямоугольных треугольников \(DA_1A\) и \(DB_1B\): \(DA_1 = DA\cos\angle ADB\), \(DB_1 = DB\cos\angle ADB\). Значит, \(\frac{DA_1}{DA} = \frac{DB_1}{DB}\), и треугольники \(DA_1B_1\) и \(DAB\) подобны по двум сторонам и углу между ними (угол при вершине \(D\) общий); поэтому \(\angle DA_1B_1 = \angle DAB = \angle TDB\). Точка \(B_1\) лежит по ту же сторону от прямой \(DB\), что и точка \(A\), то есть по другую сторону, чем точка \(T\); углы \(TDA_1\) и \(B_1A_1D\) — накрест лежащие при прямых \(t\), \(A_1B_1\) и секущей \(DB\), и они равны. Следовательно, \(A_1B_1 \parallel t\).
Если угол \(ADB\) тупой, то точки \(A_1\) и \(B_1\) лежат на продолжениях рёбер \(BD\) и \(AD\) за точку \(D\), \(DA_1 = DA\cos(180^\circ - \angle ADB)\), \(DB_1 = DB\cos(180^\circ - \angle ADB)\), и треугольники \(DA_1B_1\) и \(DAB\) снова подобны по двум сторонам и углу между ними (углы \(A_1DB_1\) и \(ADB\) вертикальные); поэтому \(\angle DA_1B_1 = \angle DAB = \angle TDB\). В этом случае точка \(B_1\) лежит по ту же сторону от прямой \(DB\), что и точка \(T\), а лучи \(A_1D\) и \(DB\) сонаправлены; углы \(B_1A_1D\) и \(TDB\) — соответственные при прямых \(A_1B_1\), \(t\) и секущей \(DB\), и они равны. Снова \(A_1B_1 \parallel t\).
Прямая \(A_1B_1\) не проходит через точку \(D\): прямая, проходящая через точки \(D\) и \(A_1\), — это прямая \(DB\), а точка \(B_1\) прямой \(DA\), отличная от \(D\), на прямой \(DB\) не лежит. Значит, прямая \(A_1B_1\) отлична от прямой \(t\) и не лежит в плоскости \(\tau\): она лежит в плоскости \(ADB\), а все общие точки плоскостей \(ADB\) и \(\tau\) лежат на прямой \(t\), проходящей через \(D\). Прямая, не лежащая в плоскости и параллельная какой-либо прямой этой плоскости, параллельна самой плоскости; поэтому \(A_1B_1 \parallel \tau\).
Так же доказывается, что \(C_1B_2 \parallel \tau\) (в грани \(BDC\) проведены высоты \(BB_2\) и \(CC_1\)) и \(A_2C_2 \parallel \tau\) (в грани \(CDA\) — высоты \(CC_2\) и \(AA_2\)): плоскости этих граней пересекают плоскость \(\tau\) по касательным к окружностям, описанным около граней, в точке \(D\). Значит, прямые \(A_1B_1\), \(C_1B_2\) и \(A_2C_2\) параллельны одной плоскости \(\tau\).
Ответ: прямые \(A_1B_1\), \(C_1B_2\) и \(A_2C_2\) параллельны плоскости, касающейся в точке \(D\) сферы, описанной около тетраэдра.
Дан тетраэдр \(DABC\). В грани \(ADB\) проведены высоты \(AA_1\) и \(BB_1\), в грани \(BDC\) — высоты \(BB_2\) и \(CC_1\) и в грани \(CDA\) — высоты \(CC_2\) и \(AA_2\). Докажите, что прямые \(A_1B_1\), \(C_1B_2\) и \(A_2C_2\) параллельны одной плоскости.
В условии говорится о прямых \(A_1B_1\), \(C_1B_2\) и \(A_2C_2\), поэтому плоские углы тетраэдра при вершине \(D\) не прямые: например, если \(\angle ADB = 90^\circ\), то основания \(A_1\) и \(B_1\) высот \(AA_1\) и \(BB_1\) грани \(ADB\) совпадают с вершиной \(D\), и прямая \(A_1B_1\) не определена. Значит, основания высот отличны от точки \(D\): точки \(A_1\) и \(C_1\) лежат на прямой \(DB\), точки \(B_1\) и \(C_2\) — на прямой \(DA\), точки \(B_2\) и \(A_2\) — на прямой \(DC\).
Около тетраэдра можно описать сферу. Пусть \(\tau\) — плоскость, касающаяся этой сферы в точке \(D\) (через любую точку сферы можно провести касательную плоскость, и притом только одну). Докажем, что каждая из прямых \(A_1B_1\), \(C_1B_2\) и \(A_2C_2\) параллельна плоскости \(\tau\).
У плоскости \(ADB\) со сферой больше одной общей точки, поэтому расстояние от центра сферы до этой плоскости меньше радиуса, и плоскость \(ADB\) пересекает сферу по окружности \(\omega\), проходящей через точки \(A\), \(D\), \(B\), — по окружности, описанной около треугольника \(ADB\). Плоскости \(ADB\) и \(\tau\) различны (в плоскости \(ADB\) лежат точки \(A\) и \(B\) сферы, а у плоскости \(\tau\) со сферой только одна общая точка \(D\)) и имеют общую точку \(D\), поэтому пересекаются по прямой \(t\). Прямая \(t\) лежит в плоскости \(\tau\) и потому имеет со сферой, а значит, и с окружностью \(\omega\) единственную общую точку \(D\); прямая \(t\) и окружность \(\omega\) лежат в плоскости \(ADB\), поэтому \(t\) — касательная к окружности \(\omega\) в точке \(D\).
Пусть \(T\) — точка прямой \(t\), лежащая по другую сторону от прямой \(DB\), чем точка \(A\). Угол \(TDB\) между касательной и хордой \(DB\) измеряется половиной дуги \(DB\), заключённой внутри этого угла, — дуги, не содержащей точку \(A\); вписанный угол \(DAB\) опирается на ту же дугу, поэтому \(\angle TDB = \angle DAB\).
Если угол \(ADB\) острый, то точка \(A_1\) лежит на луче \(DB\), точка \(B_1\) — на луче \(DA\), и из прямоугольных треугольников \(DA_1A\) и \(DB_1B\): \(DA_1 = DA\cos\angle ADB\), \(DB_1 = DB\cos\angle ADB\). Значит, \(\frac{DA_1}{DA} = \frac{DB_1}{DB}\), и треугольники \(DA_1B_1\) и \(DAB\) подобны по двум сторонам и углу между ними (угол при вершине \(D\) общий); поэтому \(\angle DA_1B_1 = \angle DAB = \angle TDB\). Точка \(B_1\) лежит по ту же сторону от прямой \(DB\), что и точка \(A\), то есть по другую сторону, чем точка \(T\); углы \(TDA_1\) и \(B_1A_1D\) — накрест лежащие при прямых \(t\), \(A_1B_1\) и секущей \(DB\), и они равны. Следовательно, \(A_1B_1 \parallel t\).
Если угол \(ADB\) тупой, то точки \(A_1\) и \(B_1\) лежат на продолжениях рёбер \(BD\) и \(AD\) за точку \(D\), \(DA_1 = DA\cos(180^\circ - \angle ADB)\), \(DB_1 = DB\cos(180^\circ - \angle ADB)\), и треугольники \(DA_1B_1\) и \(DAB\) снова подобны по двум сторонам и углу между ними (углы \(A_1DB_1\) и \(ADB\) вертикальные); поэтому \(\angle DA_1B_1 = \angle DAB = \angle TDB\). В этом случае точка \(B_1\) лежит по ту же сторону от прямой \(DB\), что и точка \(T\), а лучи \(A_1D\) и \(DB\) сонаправлены; углы \(B_1A_1D\) и \(TDB\) — соответственные при прямых \(A_1B_1\), \(t\) и секущей \(DB\), и они равны. Снова \(A_1B_1 \parallel t\).
Прямая \(A_1B_1\) не проходит через точку \(D\): прямая, проходящая через точки \(D\) и \(A_1\), — это прямая \(DB\), а точка \(B_1\) прямой \(DA\), отличная от \(D\), на прямой \(DB\) не лежит. Значит, прямая \(A_1B_1\) отлична от прямой \(t\) и не лежит в плоскости \(\tau\): она лежит в плоскости \(ADB\), а все общие точки плоскостей \(ADB\) и \(\tau\) лежат на прямой \(t\), проходящей через \(D\). Прямая, не лежащая в плоскости и параллельная какой-либо прямой этой плоскости, параллельна самой плоскости; поэтому \(A_1B_1 \parallel \tau\).
Так же доказывается, что \(C_1B_2 \parallel \tau\) (в грани \(BDC\) проведены высоты \(BB_2\) и \(CC_1\)) и \(A_2C_2 \parallel \tau\) (в грани \(CDA\) — высоты \(CC_2\) и \(AA_2\)): плоскости этих граней пересекают плоскость \(\tau\) по касательным к окружностям, описанным около граней, в точке \(D\). Значит, прямые \(A_1B_1\), \(C_1B_2\) и \(A_2C_2\) параллельны одной плоскости \(\tau\).
Ответ: прямые \(A_1B_1\), \(C_1B_2\) и \(A_2C_2\) параллельны плоскости, касающейся в точке \(D\) сферы, описанной около тетраэдра.
