Самостоятельная работа 2 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Пусть \(O\) — центр квадрата, то есть точка пересечения его диагоналей. Центр вписанной окружности совпадает с центром квадрата, поэтому \(O\) — центр и этой окружности, а её радиус равен половине стороны квадрата. Точка \(O\) лежит внутри квадрата, и контур квадрата — замкнутая выпуклая линия, охватывающая точку \(O\), поэтому каждый луч с началом в точке \(O\) пересекает контур квадрата ровно в одной точке. Каждый такой луч пересекает и вписанную окружность ровно в одной точке — той, которая удалена от \(O\) на радиус.

Каждой точке \(X\) контура квадрата ставим в соответствие ту точку \(X_1\) вписанной окружности, которая лежит на луче \(OX\).

Точка \(X\) отлична от точки \(O\), поэтому луч \(OX\) определён однозначно, и точка \(X_1\) на нём единственна. Значит, каждому элементу множества точек сторон квадрата поставлен в соответствие единственный элемент множества точек окружности.

При этом все точки окружности оказываются задействованными: если \(X_1\) — произвольная точка вписанной окружности, то луч \(OX_1\) пересекает контур квадрата в единственной точке \(X\), и именно точке \(X\) поставлена в соответствие точка \(X_1\).

Следовательно, между множеством точек сторон квадрата и множеством точек вписанной окружности установлено взаимно однозначное соответствие, а множества, между которыми можно установить такое соответствие, равномощны.

Ответ: множество точек сторон квадрата и множество точек вписанной в этот квадрат окружности равномощны.

Натуральное число чётно и кратно 5 тогда и только тогда, когда оно кратно 10, то есть когда его десятичная запись оканчивается цифрой 0. Значит, речь идёт о семизначных числах, оканчивающихся нулём.

Обозначим буквой \(A\) множество шестизначных чисел, а буквой \(B\) — множество семизначных чисел, оканчивающихся цифрой 0.

Каждому шестизначному числу ставим в соответствие то семизначное число, которое получается из него приписыванием справа цифры 0:

\[\begin{array}{ccccc} 100\,000, & 100\,001, & \ldots, & 999\,998, & 999\,999 \\ \updownarrow & \updownarrow & & \updownarrow & \updownarrow \\ 1\,000\,000, & 1\,000\,010, & \ldots, & 9\,999\,980, & 9\,999\,990 \end{array}\]

Каждому элементу множества \(A\) поставлен в соответствие единственный элемент множества \(B\). При этом все элементы множества \(B\) оказываются задействованными: если в семизначном числе вида \(\overline{abcdef}0\) зачеркнуть последнюю цифру, то получится шестизначное число \(\overline{abcdef}\), которому это семизначное число и поставлено в соответствие.

Следовательно, между множествами \(A\) и \(B\) установлено взаимно однозначное соответствие, а значит, \(n\,(A) = n\,(B)\).

Ответ: шестизначных чисел и чётных семизначных чисел, кратных числу 5, поровну.

Обозначим буквой \(A\) множество учеников класса, принявших участие в олимпиаде по математике, а буквой \(B\) — множество учеников, принявших участие в олимпиаде по физике.

Каждый из 25 учеников класса участвовал хотя бы в одной олимпиаде, поэтому \(n\,(A \cup B) = 25\); в обеих олимпиадах участвовали 10 учеников, поэтому \(n\,(A \cap B) = 10\).

Количество элементов объединения двух конечных множеств находим по формуле \(n\,(A \cup B) = n\,(A) + n\,(B) - n\,(A \cap B)\). Подставим известные значения: \(25 = n\,(A) + n\,(B) - 10\), откуда \(n\,(A) + n\,(B) = 25 + 10 = 35\).

Предположим, что в каждой из олимпиад участвовало меньше 18 учеников, то есть каждое из чисел \(n\,(A)\) и \(n\,(B)\) не превышает 17. Тогда \(n\,(A) + n\,(B) \leqslant 17 + 17 = 34\), что противоречит равенству \(n\,(A) + n\,(B) = 35\).

Следовательно, хотя бы одно из чисел \(n\,(A)\) и \(n\,(B)\) не меньше 18.

Ответ: хотя бы в одной из олимпиад приняли участие не меньше 18 учеников этого класса.

Обозначим буквой \(A\) множество натуральных чисел, кратных числу 8, а буквой \(B\) — множество натуральных чисел, кратных числу 3. Каждое число множества \(A\) имеет вид \(8n\), а каждое число множества \(B\) — вид \(3n\), где \(n \in \mathbf{N}\), причём для каждого числа такое \(n\) единственно.

Каждому числу \(8n\) множества \(A\) ставим в соответствие число \(3n\) множества \(B\):

\[\begin{array}{ccccccc} 8, & 16, & 24, & 32, & \ldots, & 8n, & \ldots \\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & & \updownarrow & \\ 3, & 6, & 9, & 12, & \ldots, & 3n, & \ldots \end{array}\]

Каждому элементу множества \(A\) поставлен в соответствие единственный элемент множества \(B\). При этом все элементы множества \(B\) оказываются задействованными: произвольное натуральное число, кратное 3, имеет вид \(3n\), и ему поставлено в соответствие число \(8n\) множества \(A\).

Следовательно, между множествами \(A\) и \(B\) установлено взаимно однозначное соответствие, а множества, между которыми можно установить такое соответствие, равномощны.

Ответ: множество натуральных чисел, кратных числу 8, равномощно множеству натуральных чисел, кратных числу 3.