Самостоятельная работа 1 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
1) Число \(3\) — элемент множества \(\{1,\ 3,\ 5\}\), поэтому утверждение верно.
2) Элементы множества \(\{1,\ 3,\ 5\}\) — числа, а \(\{1\}\) — множество, среди этих чисел его нет, поэтому утверждение неверно (верно другое утверждение: \(\{1\} \subset \{1,\ 3,\ 5\}\)).
3) Слева от знака \(\subset\) стоит число \(5\), а не множество, поэтому утверждение неверно.
4) Единственный элемент множества \(\{5\}\) — число \(5\) — принадлежит множеству \(\{1,\ 3,\ 5\}\), значит, \(\{5\} \subset \{1,\ 3,\ 5\}\) и утверждение верно.
5) Пустое множество — подмножество любого множества, поэтому утверждение верно.
6) Элементы множества \(\{1,\ 3,\ 5\}\) — числа, множества \(\{\varnothing\}\) среди них нет, поэтому утверждение неверно.
Ответ: верны утверждения 1) \(3 \in \{1,\ 3,\ 5\}\); 4) \(\{5\} \subset \{1,\ 3,\ 5\}\); 5) \(\varnothing \subset \{1,\ 3,\ 5\}\).
1) Так как \(\{3\} \subset \{3,\ 9\}\), то \(\{3\} \cap \{3,\ 9\} = \{3\}\), а множества \(\{3\}\) и \(\{3,\ 9\}\) различны: число \(9\) второму принадлежит, а первому — нет. Поэтому утверждение неверно.
2) Общий элемент множеств \(\{3\}\) и \(\{3,\ 9\}\) только один — число \(3\), поэтому утверждение верно.
3) Объединению принадлежат числа \(3\) и \(9\), то есть \(\{3\} \cup \{3,\ 9\} = \{3,\ 9\}\), а в записи \(\{9\}\) число \(3\) пропущено. Поэтому утверждение неверно.
4) Объединению принадлежат числа \(3\) и \(9\), других элементов в нём нет, поэтому утверждение верно.
Ответ: верны утверждения 2) \(\{3\} \cap \{3,\ 9\} = \{3\}\); 4) \(\{3\} \cup \{3,\ 9\} = \{3,\ 9\}\).
\(x^2 - 4 = 0\): \(x^2 = 4\), откуда \(x = -2\) или \(x = 2\), поэтому \(A = \{-2,\ 2\}\).
\((x - 2)(x + 3) = 0\): \(x = 2\) или \(x = -3\), поэтому \(B = \{-3,\ 2\}\).
1) Обоим множествам принадлежит только число \(2\): \[A \cap B = \{2\}.\]
2) Объединение содержит все элементы обоих множеств: \[A \cup B = \{-3,\ -2,\ 2\}.\]
3) Число \(2\) принадлежит множеству \(B\), а число \(-2\) — нет: \[A \setminus B = \{-2\}.\]
4) Множеству \(A\) не принадлежит число \(-3\): \[B \setminus A = \{-3\}.\]
Ответ: 1) \(A \cap B = \{2\}\); 2) \(A \cup B = \{-3,\ -2,\ 2\}\); 3) \(A \setminus B = \{-2\}\); 4) \(B \setminus A = \{-3\}\).
1) \(A \cap C\) — общая часть кругов \(A\) и \(C\); объединение с кругом \(B\) закрашивает весь круг \(B\) и те точки круга \(A\), что лежат в круге \(C\).
2) \(A \cup B\) — оба верхних круга целиком; разность с множеством \(C\) убирает из них точки круга \(C\). Закрашены три области: часть круга \(A\) вне кругов \(B\) и \(C\), часть круга \(B\) вне кругов \(A\) и \(C\) и часть общей части кругов \(A\) и \(B\) вне круга \(C\).
3) \(B \setminus C\) — часть круга \(B\) вне круга \(C\); пересечение с множеством \(A\) оставляет одну область — часть общей части кругов \(A\) и \(B\) вне круга \(C\).
Элементы множества \(\{1,\ 3,\ 5\}\) — числа \(1\), \(3\) и \(5\). Знак \(\in\) ставят между элементом и множеством, которому этот элемент принадлежит, а знак \(\subset\) — между двумя множествами, из которых первое является подмножеством второго.
1) Число \(3\) — элемент множества \(\{1,\ 3,\ 5\}\), поэтому утверждение \(3 \in \{1,\ 3,\ 5\}\) верно.
2) Элементы множества \(\{1,\ 3,\ 5\}\) — числа, а \(\{1\}\) — множество, и среди чисел \(1\), \(3\), \(5\) его нет. Поэтому утверждение \(\{1\} \in \{1,\ 3,\ 5\}\) неверно (верно другое утверждение: \(\{1\} \subset \{1,\ 3,\ 5\}\)).
3) Слева от знака \(\subset\) стоит число \(5\), а не множество, поэтому утверждение \(5 \subset \{1,\ 3,\ 5\}\) неверно.
4) Единственный элемент множества \(\{5\}\) — число \(5\) — принадлежит множеству \(\{1,\ 3,\ 5\}\), значит, множество \(\{5\}\) является подмножеством множества \(\{1,\ 3,\ 5\}\) и утверждение \(\{5\} \subset \{1,\ 3,\ 5\}\) верно.
5) Пустое множество является подмножеством любого множества, поэтому утверждение \(\varnothing \subset \{1,\ 3,\ 5\}\) верно.
6) Множество \(\{\varnothing\}\) элементом множества \(\{1,\ 3,\ 5\}\) не является: его элементы — числа \(1\), \(3\), \(5\). Поэтому утверждение \(\{\varnothing\} \in \{1,\ 3,\ 5\}\) неверно.
Ответ: верны утверждения 1) \(3 \in \{1,\ 3,\ 5\}\); 4) \(\{5\} \subset \{1,\ 3,\ 5\}\); 5) \(\varnothing \subset \{1,\ 3,\ 5\}\).
Результат пересечения и объединения множеств — снова множество, а два множества равны тогда, когда состоят из одних и тех же элементов.
1) Так как \(\{3\} \subset \{3,\ 9\}\), то \(\{3\} \cap \{3,\ 9\} = \{3\}\), а множества \(\{3\}\) и \(\{3,\ 9\}\) различны: число \(9\) второму множеству принадлежит, а первому — нет. Поэтому утверждение \(\{3\} \cap \{3,\ 9\} = \{3,\ 9\}\) неверно.
2) Общий элемент множеств \(\{3\}\) и \(\{3,\ 9\}\) только один — число \(3\), поэтому утверждение \(\{3\} \cap \{3,\ 9\} = \{3\}\) верно.
3) Объединение состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств, значит, \(\{3\} \cup \{3,\ 9\} = \{3,\ 9\}\), и число \(3\) в записи \(\{9\}\) пропущено. Поэтому утверждение \(\{3\} \cup \{3,\ 9\} = \{9\}\) неверно.
4) Объединению принадлежат числа \(3\) и \(9\), и других элементов в нём нет, поэтому утверждение \(\{3\} \cup \{3,\ 9\} = \{3,\ 9\}\) верно.
Ответ: верны утверждения 2) \(\{3\} \cap \{3,\ 9\} = \{3\}\); 4) \(\{3\} \cup \{3,\ 9\} = \{3,\ 9\}\).
Множество \(A\) состоит из корней уравнения \(x^2 - 4 = 0\). Из него \(x^2 = 4\), откуда \(x = -2\) или \(x = 2\), поэтому \(A = \{-2,\ 2\}\).
Множество \(B\) состоит из корней уравнения \((x - 2)(x + 3) = 0\). Произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один множитель: \(x - 2 = 0\) или \(x + 3 = 0\), откуда \(x = 2\) или \(x = -3\), поэтому \(B = \{-3,\ 2\}\).
1) Пересечение состоит из элементов, принадлежащих и множеству \(A\), и множеству \(B\); такой элемент один — число \(2\): \[A \cap B = \{2\}.\]
2) Объединение состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств: \[A \cup B = \{-3,\ -2,\ 2\}.\]
3) Разность \(A \setminus B\) состоит из элементов множества \(A\), не принадлежащих множеству \(B\); число \(2\) принадлежит множеству \(B\), а число \(-2\) — нет: \[A \setminus B = \{-2\}.\]
4) Разность \(B \setminus A\) состоит из элементов множества \(B\), не принадлежащих множеству \(A\); таково число \(-3\): \[B \setminus A = \{-3\}.\]
Ответ: 1) \(A \cap B = \{2\}\); 2) \(A \cup B = \{-3,\ -2,\ 2\}\); 3) \(A \setminus B = \{-2\}\); 4) \(B \setminus A = \{-3\}\).
Порядок действий задают скобки: сначала выполняется операция в скобках, потом операция с её результатом.
1) Пересечение \(A \cap C\) — общая часть кругов \(A\) и \(C\); объединение этой части с кругом \(B\) закрашивает все точки круга \(B\) и те точки круга \(A\), которые лежат в круге \(C\).
2) Объединение \(A \cup B\) — оба верхних круга целиком; разность с множеством \(C\) удаляет из них все точки круга \(C\). Закрашенными остаются три области: часть круга \(A\) вне кругов \(B\) и \(C\), часть круга \(B\) вне кругов \(A\) и \(C\) и та часть общей части кругов \(A\) и \(B\), которая лежит вне круга \(C\).
3) Разность \(B \setminus C\) — часть круга \(B\), лежащая вне круга \(C\); из неё пересечение с множеством \(A\) оставляет только точки круга \(A\). Закрашена одна область — та часть общей части кругов \(A\) и \(B\), которая лежит вне круга \(C\).
