Самостоятельная работа 3 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Высказывание \(A\) — это равенство \(\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10}\). Сократив дробь \(\dfrac{4}{10}\) на 2, получаем \(\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\), то есть равенство верное. Значит, \(f(A) = 1\).

Высказывание \(B\) — это неравенство \(8 > 11\). Число 8 меньше числа 11, поэтому неравенство неверное. Значит, \(f(B) = 0\).

Отрицание высказывания истинно тогда, когда само высказывание ложно, и ложно тогда, когда оно истинно, поэтому \(f(\overline{A}) = 0\) и \(f(\overline{B}) = 1\).

1) Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинно каждое из двух высказываний. Здесь \(f(A) = 1\) и \(f(\overline{B}) = 1\), поэтому \(f(A \wedge \overline{B}) = 1\).

2) Дизъюнкция истинна тогда, когда истинно хотя бы одно из двух высказываний. Здесь \(f(\overline{B}) = 1\), поэтому \(f(\overline{A} \vee \overline{B}) = 1\).

3) Импликация ложна в единственном случае: когда её условие истинно, а вывод ложен. Условие \(\overline{B}\) истинно, вывод \(\overline{A}\) ложен, поэтому \(f(\overline{B} \Rightarrow \overline{A}) = 0\).

4) Эквивалентность истинна тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Здесь \(f(\overline{A}) = 0\) и \(f(B) = 0\) — оба высказывания ложны, поэтому \(f(\overline{A} \Leftrightarrow B) = 1\).

Ответ: 1) высказывание \(A \wedge \overline{B}\) истинно; 2) высказывание \(\overline{A} \vee \overline{B}\) истинно; 3) высказывание \(\overline{B} \Rightarrow \overline{A}\) ложно; 4) высказывание \(\overline{A} \Leftrightarrow B\) истинно.

Отрицание высказывания \(B\) истинно тогда, когда само высказывание \(B\) ложно. Так как \(f(B) = 0\), то \(f(\overline{B}) = 1\).

Конъюнкция \(A \wedge \overline{B}\) истинна тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания — и \(A\), и \(\overline{B}\). По условию эта конъюнкция ложна: \(f(A \wedge \overline{B}) = 0\), значит, ложно хотя бы одно из высказываний \(A\), \(\overline{B}\). Высказывание \(\overline{B}\) истинно, поэтому ложным может быть только высказывание \(A\).

Следовательно, \(f(A) = 0\).

Ответ: \(f(A) = 0\).

Выражение \((A \vee \overline{B}) \Rightarrow C\) зависит от трёх высказываний \(A\), \(B\), \(C\), поэтому в таблице истинности восемь строк — по числу наборов значений этих высказываний. Кроме столбцов для \(A\), \(B\) и \(C\) понадобятся промежуточные столбцы: один для отрицания \(\overline{B}\), другой для условия импликации \(A \vee \overline{B}\); последний столбец — значения всего выражения.

\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c} A & B & C & \overline{B} & A \vee \overline{B} & (A \vee \overline{B}) \Rightarrow C \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\]

Условие импликации \(A \vee \overline{B}\) ложно только в тех двух строках, где высказывание \(A\) ложно, а высказывание \(B\) истинно, и в них импликация истинна при любом значении \(C\). В остальных шести строках условие импликации истинно, и значение всего выражения совпадает со значением \(C\).

Ответ: выражение \((A \vee \overline{B}) \Rightarrow C\) принимает значения \(1\); \(0\); \(1\); \(0\); \(1\); \(1\); \(1\); \(0\) — по одному на каждый из наборов значений \(A\), \(B\), \(C\), взятых в порядке \(1,\ 1,\ 1\); \(1,\ 1,\ 0\); \(1,\ 0,\ 1\); \(1,\ 0,\ 0\); \(0,\ 1,\ 1\); \(0,\ 1,\ 0\); \(0,\ 0,\ 1\); \(0,\ 0,\ 0\).