Самостоятельная работа 2 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
Пусть \(O\) — центр окружности, описанной около данного треугольника; треугольник остроугольный, поэтому точка \(O\) лежит внутри него. Через \(A\) обозначим множество точек сторон треугольника, через \(B\) — множество точек окружности.
Каждой точке \(X\) множества \(A\) ставим в соответствие ту точку \(X_1\) множества \(B\), которая лежит на луче \(OX\).
Контур треугольника — замкнутая выпуклая ломаная, поэтому каждый луч с началом в точке \(O\) пересекает контур треугольника ровно в одной точке и окружность — тоже ровно в одной точке.
Значит, каждой точке множества \(A\) отвечает единственная точка множества \(B\); задействованы и все точки множества \(B\): луч \(OX_1\) даёт ту единственную точку \(X\) сторон треугольника, которой соответствует точка \(X_1\).
Соответствие взаимно однозначное, поэтому множества равномощны.
Ответ: множество точек сторон остроугольного треугольника и множество точек описанной около этого треугольника окружности равномощны.
Число, кратное числу 100, оканчивается двумя нулями: речь о семизначных числах, оканчивающихся двумя нулями.
Через \(A\) обозначим множество пятизначных чисел, через \(B\) — множество семизначных чисел, кратных числу 100.
Каждому пятизначному числу ставим в соответствие то семизначное, которое получается из него приписыванием справа двух нулей:
\[\begin{array}{ccccc} 10\,000, & 10\,001, & \ldots, & 99\,998, & 99\,999 \\ \updownarrow & \updownarrow & & \updownarrow & \updownarrow \\ 1\,000\,000, & 1\,000\,100, & \ldots, & 9\,999\,800, & 9\,999\,900 \end{array}\]
Задействованы и все элементы множества \(B\): зачеркнув в числе вида \(\overline{abcde}00\) две последние цифры, получаем то пятизначное число \(\overline{abcde}\), которому это семизначное число и соответствует.
Соответствие взаимно однозначное, поэтому \(n\,(A) = n\,(B)\).
Ответ: пятизначных чисел и семизначных чисел, кратных числу 100, поровну.
Через \(A\) обозначим множество студентов, изучающих английский язык, через \(B\) — множество студентов, изучающих французский язык. По условию \(n\,(A \cup B) = 43\) и \(n\,(A \cap B) = 16\), поэтому \[n\,(A) + n\,(B) = n\,(A \cup B) + n\,(A \cap B) = 43 + 16 = 59.\]
Предположим противное: каждый из языков изучают меньше 30 студентов, то есть \(n\,(A) \leqslant 29\) и \(n\,(B) \leqslant 29\). Тогда \(n\,(A) + n\,(B) \leqslant 29 + 29 = 58\) — противоречие.
Значит, хотя бы одно из чисел \(n\,(A)\) и \(n\,(B)\) не меньше 30.
Ответ: хотя бы один из языков изучают не меньше 30 студентов.
Через \(A\) и \(B\) обозначим множества натуральных чисел, кратных числам 9 и 4 соответственно; их элементы имеют вид \(9n\) и \(4n\), где \(n \in \mathbf{N}\), причём для каждого числа такое \(n\) единственно.
Каждому числу \(9n\) множества \(A\) ставим в соответствие число \(4n\) множества \(B\):
\[\begin{array}{ccccccc} 9, & 18, & 27, & 36, & \ldots, & 9n, & \ldots \\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & & \updownarrow & \\ 4, & 8, & 12, & 16, & \ldots, & 4n, & \ldots \end{array}\]
Задействованы и все элементы множества \(B\): любое натуральное число, кратное 4, имеет вид \(4n\), и ему отвечает число \(9n\) множества \(A\).
Соответствие взаимно однозначное, поэтому множества равномощны.
Ответ: множество натуральных чисел, кратных числу 9, равномощно множеству натуральных чисел, кратных числу 4.
Пусть \(O\) — центр окружности, описанной около данного треугольника. Треугольник остроугольный, поэтому точка \(O\) лежит внутри треугольника. Контур треугольника — замкнутая выпуклая ломаная, охватывающая точку \(O\), поэтому каждый луч с началом в точке \(O\) пересекает контур треугольника ровно в одной точке. Каждый такой луч пересекает и описанную окружность ровно в одной точке — той, которая удалена от \(O\) на радиус.
Каждой точке \(X\) контура треугольника ставим в соответствие ту точку \(X_1\) описанной окружности, которая лежит на луче \(OX\).
Точка \(X\) отлична от точки \(O\), поэтому луч \(OX\) определён однозначно, и точка \(X_1\) на нём единственна. Значит, каждому элементу множества точек сторон треугольника поставлен в соответствие единственный элемент множества точек окружности.
При этом все точки окружности оказываются задействованными: если \(X_1\) — произвольная точка описанной окружности, то луч \(OX_1\) пересекает контур треугольника в единственной точке \(X\), и именно точке \(X\) поставлена в соответствие точка \(X_1\).
Следовательно, между множеством точек сторон треугольника и множеством точек описанной окружности установлено взаимно однозначное соответствие, а множества, между которыми можно установить такое соответствие, равномощны.
Ответ: множество точек сторон остроугольного треугольника и множество точек описанной около этого треугольника окружности равномощны.
Натуральное число кратно 100 тогда и только тогда, когда его десятичная запись оканчивается двумя нулями. Значит, речь идёт о семизначных числах, оканчивающихся двумя нулями.
Обозначим буквой \(A\) множество пятизначных чисел, а буквой \(B\) — множество семизначных чисел, кратных числу 100.
Каждому пятизначному числу ставим в соответствие то семизначное число, которое получается из него приписыванием справа двух нулей:
\[\begin{array}{ccccc} 10\,000, & 10\,001, & \ldots, & 99\,998, & 99\,999 \\ \updownarrow & \updownarrow & & \updownarrow & \updownarrow \\ 1\,000\,000, & 1\,000\,100, & \ldots, & 9\,999\,800, & 9\,999\,900 \end{array}\]
Каждому элементу множества \(A\) поставлен в соответствие единственный элемент множества \(B\). При этом все элементы множества \(B\) оказываются задействованными: если в семизначном числе вида \(\overline{abcde}00\) зачеркнуть две последние цифры, то получится пятизначное число \(\overline{abcde}\), которому это семизначное число и поставлено в соответствие.
Следовательно, между множествами \(A\) и \(B\) установлено взаимно однозначное соответствие, а значит, \(n\,(A) = n\,(B)\).
Ответ: пятизначных чисел и семизначных чисел, кратных числу 100, поровну.
Обозначим буквой \(A\) множество студентов, изучающих английский язык, а буквой \(B\) — множество студентов, изучающих французский язык.
Каждый из 43 студентов изучает хотя бы один из этих языков, поэтому \(n\,(A \cup B) = 43\); оба языка изучают 16 студентов, поэтому \(n\,(A \cap B) = 16\).
Количество элементов объединения двух конечных множеств находим по формуле \(n\,(A \cup B) = n\,(A) + n\,(B) - n\,(A \cap B)\). Подставим известные значения: \(43 = n\,(A) + n\,(B) - 16\), откуда \(n\,(A) + n\,(B) = 43 + 16 = 59\).
Предположим, что каждый из языков изучают меньше 30 студентов, то есть каждое из чисел \(n\,(A)\) и \(n\,(B)\) не превышает 29. Тогда \(n\,(A) + n\,(B) \leqslant 29 + 29 = 58\), что противоречит равенству \(n\,(A) + n\,(B) = 59\).
Следовательно, хотя бы одно из чисел \(n\,(A)\) и \(n\,(B)\) не меньше 30.
Ответ: хотя бы один из языков изучают не меньше 30 студентов.
Обозначим буквой \(A\) множество натуральных чисел, кратных числу 9, а буквой \(B\) — множество натуральных чисел, кратных числу 4. Каждое число множества \(A\) имеет вид \(9n\), а каждое число множества \(B\) — вид \(4n\), где \(n \in \mathbf{N}\), причём для каждого числа такое \(n\) единственно.
Каждому числу \(9n\) множества \(A\) ставим в соответствие число \(4n\) множества \(B\):
\[\begin{array}{ccccccc} 9, & 18, & 27, & 36, & \ldots, & 9n, & \ldots \\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & & \updownarrow & \\ 4, & 8, & 12, & 16, & \ldots, & 4n, & \ldots \end{array}\]
Каждому элементу множества \(A\) поставлен в соответствие единственный элемент множества \(B\). При этом все элементы множества \(B\) оказываются задействованными: произвольное натуральное число, кратное 4, имеет вид \(4n\), и ему поставлено в соответствие число \(9n\) множества \(A\).
Следовательно, между множествами \(A\) и \(B\) установлено взаимно однозначное соответствие, а множества, между которыми можно установить такое соответствие, равномощны.
Ответ: множество натуральных чисел, кратных числу 9, равномощно множеству натуральных чисел, кратных числу 4.
