Самостоятельная работа 3 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
Число 11 натуральное, поэтому \(f(A) = 1\).
Равенство \(4 + 5 = 10\) неверное, так как \(4 + 5 = 9\), поэтому \(f(B) = 0\).
Отсюда \(f\left(\overline{A}\right) = 0\) и \(f\left(\overline{B}\right) = 1\).
1) Условие \(B\) ложно — при ложном условии импликация истинна: \(f\left(B \Rightarrow \overline{A}\right) = 1\).
2) Истинно высказывание \(A\), поэтому дизъюнкция истинна: \(f(A \vee B) = 1\).
3) \(f\left(\overline{A}\right) = 0\) и \(f(B) = 0\) — оба высказывания ложны, поэтому эквивалентность истинна: \(f\left(\overline{A} \Leftrightarrow B\right) = 1\).
4) \(f(A) = 1\) и \(f\left(\overline{B}\right) = 1\) — оба высказывания истинны, поэтому конъюнкция истинна: \(f\left(A \wedge \overline{B}\right) = 1\).
Ответ: истинны все четыре высказывания: 1) \(B \Rightarrow \overline{A}\); 2) \(A \vee B\); 3) \(\overline{A} \Leftrightarrow B\); 4) \(A \wedge \overline{B}\).
Импликация ложна только тогда, когда её условие истинно, а вывод ложен, поэтому из \(f\left(\overline{B} \Rightarrow A\right) = 0\) следует \(f\left(\overline{B}\right) = 1\) (и \(f(A) = 0\) — это дано в условии).
Отрицание \(\overline{B}\) истинно, поэтому само высказывание \(B\) ложно.
Ответ: \(f(B) = 0\).
Выражение зависит от трёх высказываний, поэтому в таблице восемь строк; промежуточные столбцы — \(\overline{A}\) и \(\overline{A} \Rightarrow B\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c} A & B & C & \overline{A} & \overline{A} \Rightarrow B & \left(\overline{A} \Rightarrow B\right) \wedge C \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\]
Импликация \(\overline{A} \Rightarrow B\) ложна только в двух последних строках, где её условие \(\overline{A}\) истинно, а вывод \(B\) ложен; в остальных шести строках значение выражения совпадает со значением высказывания \(C\).
Ответ: выражение \(\left(\overline{A} \Rightarrow B\right) \wedge C\) истинно тогда и только тогда, когда истинно высказывание \(C\) и истинно хотя бы одно из высказываний \(A\) и \(B\); значения выражения по строкам таблицы сверху вниз: \(1\), \(0\), \(1\), \(0\), \(1\), \(0\), \(0\), \(0\).
Сначала определим истинность данных высказываний. Число 11 — натуральное, поэтому высказывание \(A\) истинно: \(f(A) = 1\). Равенство \(4 + 5 = 10\) неверно, так как \(4 + 5 = 9\), поэтому высказывание \(B\) ложно: \(f(B) = 0\). Отсюда \(f\left(\overline{A}\right) = 0\) и \(f\left(\overline{B}\right) = 1\).
1) Импликация ложна только тогда, когда её условие истинно, а вывод ложен. Здесь условие \(B\) ложно, поэтому \(f\left(B \Rightarrow \overline{A}\right) = 1\), то есть высказывание \(B \Rightarrow \overline{A}\) истинно.
2) Дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из двух высказываний. Здесь \(f(A) = 1\), поэтому \(f(A \vee B) = 1\), то есть высказывание \(A \vee B\) истинно.
3) Эквивалентность истинна, если оба высказывания истинны или оба ложны. Здесь \(f\left(\overline{A}\right) = 0\) и \(f(B) = 0\), то есть ложны оба, поэтому \(f\left(\overline{A} \Leftrightarrow B\right) = 1\) и высказывание \(\overline{A} \Leftrightarrow B\) истинно.
4) Конъюнкция истинна, если истинно каждое из двух высказываний. Здесь \(f(A) = 1\) и \(f\left(\overline{B}\right) = 1\), поэтому \(f\left(A \wedge \overline{B}\right) = 1\), то есть высказывание \(A \wedge \overline{B}\) истинно.
Ответ: истинны все четыре высказывания: 1) \(B \Rightarrow \overline{A}\); 2) \(A \vee B\); 3) \(\overline{A} \Leftrightarrow B\); 4) \(A \wedge \overline{B}\).
Импликация ложна только в одном случае: когда её условие истинно, а вывод ложен. В импликации \(\overline{B} \Rightarrow A\) условие — это высказывание \(\overline{B}\), а вывод — высказывание \(A\). Из равенства \(f\left(\overline{B} \Rightarrow A\right) = 0\) следует, что \(f\left(\overline{B}\right) = 1\) и \(f(A) = 0\); второе из этих равенств дано в условии.
Отрицание \(\overline{B}\) истинно, поэтому само высказывание \(B\) ложно: \(f(B) = 0\).
Ответ: \(f(B) = 0\).
Логическое выражение \(\left(\overline{A} \Rightarrow B\right) \wedge C\) зависит от трёх высказываний, поэтому его таблица истинности содержит восемь строк — по числу наборов значений высказываний \(A\), \(B\) и \(C\). Кроме столбцов \(A\), \(B\), \(C\) выпишем промежуточные столбцы \(\overline{A}\) и \(\overline{A} \Rightarrow B\), а последним — столбец самого выражения.
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c} A & B & C & \overline{A} & \overline{A} \Rightarrow B & \left(\overline{A} \Rightarrow B\right) \wedge C \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\]
Импликация \(\overline{A} \Rightarrow B\) ложна только в двух последних строках: там её условие \(\overline{A}\) истинно, а вывод \(B\) ложен. В остальных шести строках эта импликация истинна, и значение всего выражения совпадает со значением высказывания \(C\).
Ответ: выражение \(\left(\overline{A} \Rightarrow B\right) \wedge C\) истинно тогда и только тогда, когда истинно высказывание \(C\) и истинно хотя бы одно из высказываний \(A\) и \(B\); значения выражения по строкам таблицы сверху вниз: \(1\), \(0\), \(1\), \(0\), \(1\), \(0\), \(0\), \(0\).
