Самостоятельная работа 2 Вариант 2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Пусть \(O\) — центр окружности, вписанной в треугольник, то есть точка пересечения его биссектрис; эта точка лежит внутри треугольника. Обозначим через \(A\) множество точек сторон треугольника, а через \(B\) — множество точек вписанной окружности.

Каждой точке \(X\) множества \(A\) ставим в соответствие ту точку \(X_1\) множества \(B\), которая лежит на луче \(OX\).

Точка \(O\) лежит внутри треугольника, а треугольник — выпуклая фигура, поэтому каждый луч с началом в точке \(O\) пересекает стороны треугольника ровно в одной точке. Точка \(O\) — центр вписанной окружности, поэтому тот же луч пересекает и эту окружность ровно в одной точке.

Значит, каждой точке множества \(A\) поставлена в соответствие единственная точка множества \(B\). Все точки множества \(B\) при этом оказываются задействованными: если \(X_1\) — точка вписанной окружности, то луч \(OX_1\) пересекает стороны треугольника в единственной точке \(X\), и точке \(X\) соответствует именно точка \(X_1\).

Следовательно, между множеством точек сторон треугольника и множеством точек вписанной окружности установлено взаимно однозначное соответствие, а поэтому эти множества равномощны.

Ответ: множество точек сторон треугольника и множество точек вписанной в этот треугольник окружности равномощны.

Натуральное число, кратное числу \(5\), оканчивается цифрой \(0\) или цифрой \(5\), причём числа, оканчивающиеся нулём, чётные. Значит, нечётные шестизначные числа, кратные числу \(5\), — это в точности шестизначные числа, оканчивающиеся цифрой \(5\).

Обозначим через \(A\) множество пятизначных чисел, а через \(B\) — множество нечётных шестизначных чисел, кратных числу \(5\).

Каждому пятизначному числу \(\overline{abcde}\) ставим в соответствие число \(\overline{abcde}5\), которое получается из него приписыванием справа цифры \(5\). Это число шестизначное, поскольку первая цифра \(a\) отлична от нуля, оно оканчивается цифрой \(5\), то есть нечётное и кратное числу \(5\), а значит, принадлежит множеству \(B\):

\[\begin{array}{cccccc} 10\,000, & 10\,001, & 10\,002, & \ldots, & 99\,998, & 99\,999 \\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & & \updownarrow & \updownarrow \\ 100\,005, & 100\,015, & 100\,025, & \ldots, & 999\,985, & 999\,995 \end{array}\]

Каждому элементу множества \(A\) поставлен в соответствие единственный элемент множества \(B\). При этом все элементы множества \(B\) оказываются задействованными: если в шестизначном числе, оканчивающемся цифрой \(5\), зачеркнуть последнюю цифру, получится пятизначное число, которому это шестизначное число и соответствует.

Значит, между множествами \(A\) и \(B\) установлено взаимно однозначное соответствие, а поэтому \(n\,(A) = n\,(B)\).

Проверка: пятизначных чисел \(99\,999 - 10\,000 + 1 = 90\,000\); нечётные шестизначные числа, кратные числу \(5\), — это \(100\,005,\ 100\,015,\ \ldots,\ 999\,995\), и их \((999\,995 - 100\,005) : 10 + 1 = 90\,000\).

Ответ: пятизначных чисел и нечётных шестизначных чисел, кратных числу \(5\), поровну.

Обозначим через \(A\) множество учащихся, посещающих авиамодельный кружок, а через \(B\) — множество учащихся, посещающих кружок робототехники. По условию \(n\,(A \cup B) = 47\) и \(n\,(A \cap B) = 20\).

Количество элементов объединения двух конечных множеств находят по формуле \(n\,(A \cup B) = n\,(A) + n\,(B) - n\,(A \cap B)\), откуда \[n\,(A) + n\,(B) = n\,(A \cup B) + n\,(A \cap B) = 47 + 20 = 67.\]

Предположим противное: в работе каждого из кружков принимают участие меньше \(34\) учащихся. Количество учащихся — целое число, поэтому тогда \(n\,(A) \leqslant 33\) и \(n\,(B) \leqslant 33\), а значит, \(n\,(A) + n\,(B) \leqslant 66\). Получили противоречие с равенством \(n\,(A) + n\,(B) = 67\).

Значит, хотя бы одно из чисел \(n\,(A)\) и \(n\,(B)\) не меньше \(34\).

Ответ: в работе хотя бы одного из кружков принимают участие не менее \(34\) учащихся.

Обозначим через \(A\) множество натуральных чисел, кратных числу \(3\), а через \(B\) — множество натуральных чисел, кратных числу \(5\). Каждый элемент множества \(A\) имеет вид \(3n\), а каждый элемент множества \(B\) — вид \(5n\), где \(n \in \mathbf{N}\).

Каждому числу \(3n\) множества \(A\) ставим в соответствие число \(5n\) множества \(B\):

\[\begin{array}{cccccc} 3, & 6, & 9, & \ldots, & 3n, & \ldots \\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & & \updownarrow & \\ 5, & 10, & 15, & \ldots, & 5n, & \ldots \end{array}\]

Каждому элементу множества \(A\) поставлен в соответствие единственный элемент множества \(B\): по числу \(3n\) натуральное число \(n\) восстанавливается однозначно, а вместе с ним однозначно определяется и число \(5n\). Все элементы множества \(B\) при этом оказываются задействованными: любое натуральное число, кратное числу \(5\), имеет вид \(5n\) при некотором \(n \in \mathbf{N}\), и ему соответствует число \(3n\) множества \(A\).

Значит, между множествами \(A\) и \(B\) установлено взаимно однозначное соответствие, а поэтому эти множества равномощны.

Ответ: множество натуральных чисел, кратных числу \(3\), равномощно множеству натуральных чисел, кратных числу \(5\).