Самостоятельная работа 4 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Область истинности предиката \(A(x;\ y)\) — множество тех упорядоченных пар \((x;\ y)\) действительных чисел, для которых равенство \(x^2 + (y - 1)^2 = 0\) становится верным.

Каждое из слагаемых \(x^2\) и \((y - 1)^2\) неотрицательно, а сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Значит, равенство \(x^2 + (y - 1)^2 = 0\) равносильно системе \[\begin{cases} x^2 = 0, \\ (y - 1)^2 = 0. \end{cases}\]

Отсюда \(x = 0\) и \(y = 1\), то есть истинное высказывание получается для единственной пары \((0;\ 1)\).

Ответ: \(A = \{(0;\ 1)\}\) — множество, единственный элемент которого есть пара \((0;\ 1)\).

Найдём области истинности данных предикатов.

Уравнение \(x^2 - 2x = 0\) запишем в виде \(x\,(x - 2) = 0\); произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один множитель, поэтому \(x = 0\) или \(x = 2\). Значит, область истинности предиката \(A(x)\) — множество \(A = \{0,\ 2\}\).

Уравнение \(x^2 - 4 = 0\) запишем в виде \((x - 2)(x + 2) = 0\), откуда \(x = 2\) или \(x = -2\). Значит, область истинности предиката \(B(x)\) — множество \(B = \{-2,\ 2\}\).

1) Областью истинности конъюнкции предикатов служит пересечение их областей истинности: \(A \cap B = \{0,\ 2\} \cap \{-2,\ 2\} = \{2\}\).

2) Областью истинности дизъюнкции предикатов служит объединение их областей истинности: \(A \cup B = \{0,\ 2\} \cup \{-2,\ 2\} = \{-2,\ 0,\ 2\}\).

3) Импликация \(A(x) \Rightarrow B(x)\) превращается в ложное высказывание для тех и только тех значений \(x\), при которых предикат \(A(x)\) истинен, а предикат \(B(x)\) ложен. Такое значение одно: число 0 принадлежит множеству \(A\) и не принадлежит множеству \(B\). При всех остальных действительных значениях \(x\) импликация истинна, поэтому её область истинности — множество \(\mathbf{R} \setminus \{0\}\).

4) Эквивалентность \(A(x) \Leftrightarrow B(x)\) превращается в истинное высказывание для тех и только тех значений \(x\), при которых оба предиката истинны или оба ложны. Оба предиката истинны только при \(x = 2\); оба предиката ложны при всех действительных \(x\), кроме чисел \(-2\), 0 и 2. Объединяя эти значения, получаем область истинности \(\mathbf{R} \setminus \{-2,\ 0\}\).

Ответ: области истинности: 1) предиката \(A(x) \wedge B(x)\) — множество \(\{2\}\); 2) предиката \(A(x) \vee B(x)\) — множество \(\{-2,\ 0,\ 2\}\); 3) предиката \(A(x) \Rightarrow B(x)\) — множество \(\mathbf{R} \setminus \{0\}\); 4) предиката \(A(x) \Leftrightarrow B(x)\) — множество \(\mathbf{R} \setminus \{-2,\ 0\}\).

1) Неравенство \(2x + 3 < 0\) верно не при каждом действительном значении переменной: при \(x = 0\) оно превращается в неверное числовое неравенство \(3 < 0\). Значит, квантор общности дал бы здесь ложное высказывание. Вместе с тем при \(x = -2\) имеем \(2 \cdot (-2) + 3 = -1\), и неравенство \(-1 < 0\) верное, то есть значение переменной, обращающее предикат в истинное высказывание, существует. Поэтому нужен квантор существования: \((\exists x \in \mathbf{R})(2x + 3 < 0)\) — истинное высказывание.

2) Выделим в левой части неравенства полный квадрат: \(x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2\). Так как \((x - 1)^2 \geqslant 0\) при любом действительном значении переменной, то и \((x - 1)^2 + 2 \geqslant 2\) при любом её значении. Значит, предикат обращается в истинное высказывание для каждого \(x \in \mathbf{R}\), и подходит квантор общности: \((\forall x \in \mathbf{R})(x^2 - 2x + 3 \geqslant 2)\) — истинное высказывание. Квантор существования тоже даёт истинное высказывание, поскольку неравенство верно при всех действительных значениях переменной, но квантор общности утверждает больше, поэтому ставим именно его.

Ответ: 1) \((\exists x \in \mathbf{R})(2x + 3 < 0)\); 2) \((\forall x \in \mathbf{R})(x^2 - 2x + 3 \geqslant 2)\).

Предикаты этой теоремы заданы на множестве всех параллелограммов. Условие теоремы — «в параллелограмме один из углов равен \(90^\circ\)», вывод — «этот параллелограмм является прямоугольником».

1) Противоположную теорему получают, заменяя и условие, и вывод их отрицаниями. Условие «в параллелограмме один из углов равен \(90^\circ\)» утверждает, что прямой угол в параллелограмме есть, поэтому его отрицание — «в параллелограмме ни один из углов не равен \(90^\circ\)». Отрицание вывода — «этот параллелограмм не является прямоугольником».

Противоположная теорема: если в параллелограмме ни один из углов не равен \(90^\circ\), то этот параллелограмм не является прямоугольником.

2) Теорему, обратную противоположной, получают из противоположной, меняя местами её условие и вывод.

Теорема, обратная противоположной: если параллелограмм не является прямоугольником, то ни один из его углов не равен \(90^\circ\).

Ответ: 1) противоположная теорема: если в параллелограмме ни один из углов не равен \(90^\circ\), то этот параллелограмм не является прямоугольником; 2) теорема, обратная противоположной: если параллелограмм не является прямоугольником, то ни один из его углов не равен \(90^\circ\).