Самостоятельная работа 3 Вариант 2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Высказывание \(A\) — это неравенство \(7 < 11\). Число 7 меньше числа 11, поэтому неравенство верное. Значит, \(f(A) = 1\).

Высказывание \(B\) утверждает, что число \(\sqrt{3}\) — целое. Из неравенств \(1 < 3 < 4\) следует, что \(\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}\), то есть \(1 < \sqrt{3} < 2\), а между числами 1 и 2 целых чисел нет. Значит, утверждение \(\sqrt{3} \in \mathbf{Z}\) неверное и \(f(B) = 0\).

Отрицание высказывания истинно тогда, когда само высказывание ложно, и ложно тогда, когда оно истинно, поэтому \(f(\overline{A}) = 0\) и \(f(\overline{B}) = 1\).

1) Дизъюнкция ложна тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания. Здесь \(f(\overline{A}) = 0\) и \(f(B) = 0\), поэтому \(f(\overline{A} \vee B) = 0\).

2) Импликация ложна в единственном случае: когда её условие истинно, а вывод ложен. Условие \(\overline{A}\) ложно, поэтому импликация истинна независимо от того, истинен её вывод или ложен: \(f(\overline{A} \Rightarrow B) = 1\).

3) Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинно каждое из двух высказываний. Здесь \(f(\overline{A}) = 0\), поэтому \(f(\overline{B} \wedge \overline{A}) = 0\).

4) Эквивалентность истинна тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Здесь \(f(\overline{B}) = 1\) и \(f(A) = 1\) — оба высказывания истинны, поэтому \(f(\overline{B} \Leftrightarrow A) = 1\).

Ответ: 1) высказывание \(\overline{A} \vee B\) ложно; 2) высказывание \(\overline{A} \Rightarrow B\) истинно; 3) высказывание \(\overline{B} \wedge \overline{A}\) ложно; 4) высказывание \(\overline{B} \Leftrightarrow A\) истинно.

Отрицание высказывания \(B\) ложно тогда, когда само высказывание \(B\) истинно. Так как \(f(B) = 1\), то \(f(\overline{B}) = 0\).

Дизъюнкция \(A \vee \overline{B}\) ложна тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания — и \(A\), и \(\overline{B}\). По условию эта дизъюнкция ложна: \(f(A \vee \overline{B}) = 0\), значит, ложно каждое из высказываний \(A\), \(\overline{B}\).

Следовательно, \(f(A) = 0\).

Ответ: \(f(A) = 0\).

Выражение \((C \vee B) \Leftrightarrow \overline{A}\) зависит от трёх высказываний \(A\), \(B\), \(C\), поэтому в таблице истинности восемь строк — по числу наборов значений этих высказываний. Кроме столбцов для \(A\), \(B\) и \(C\) понадобятся промежуточные столбцы: один для левой части эквивалентности \(C \vee B\), другой для её правой части \(\overline{A}\); последний столбец — значения всего выражения.

\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c} A & B & C & C \vee B & \overline{A} & (C \vee B) \Leftrightarrow \overline{A} \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\]

Эквивалентность истинна не только там, где обе её части истинны, но и там, где обе части ложны: в четвёртой строке высказывания \(C \vee B\) и \(\overline{A}\) ложны одновременно, и значение всего выражения равно 1. В последней же строке левая часть ложна, а правая истинна, и выражение принимает значение 0.

Ответ: выражение \((C \vee B) \Leftrightarrow \overline{A}\) принимает значения \(0\); \(0\); \(0\); \(1\); \(1\); \(1\); \(1\); \(0\) — по одному на каждый из наборов значений \(A\), \(B\), \(C\), взятых в порядке \(1,\ 1,\ 1\); \(1,\ 1,\ 0\); \(1,\ 0,\ 1\); \(1,\ 0,\ 0\); \(0,\ 1,\ 1\); \(0,\ 1,\ 0\); \(0,\ 0,\ 1\); \(0,\ 0,\ 0\).