Самостоятельная работа 5 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) \(f(x) = \dfrac{1}{x^3 + 14x}\).

Разложим знаменатель на множители: \(x^3 + 14x = x\left(x^2 + 14\right)\). Множитель \(x^2 + 14\) положителен при любом \(x\), поэтому знаменатель обращается в нуль только при \(x = 0\), и \(D(f) = \mathbf{R} \setminus \{0\}\). Вместе с каждым отличным от нуля числом этому множеству принадлежит и противоположное ему число, значит, область определения симметрична относительно начала координат.

Для любого \(x \in D(f)\) имеем: \[f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 + 14 \cdot (-x)} = \frac{1}{-x^3 - 14x} = -\frac{1}{x^3 + 14x} = -f(x).\]

Следовательно, функция нечётная.

2) \(f(x) = \sqrt{x^2 - 7}\).

Подкоренное выражение неотрицательно при \(x^2 - 7 \geqslant 0\), то есть при \(x^2 \geqslant 7\), откуда \(|x| \geqslant \sqrt{7}\). Значит, \(D(f) = \left(-\infty;\ -\sqrt{7}\right] \cup \left[\sqrt{7};\ +\infty\right)\). Эта область состоит из двух лучей, но вместе с каждым своим числом она содержит и противоположное ему число, поэтому она симметрична относительно начала координат.

Для любого \(x \in D(f)\) имеем: \(f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 7} = \sqrt{x^2 - 7} = f(x)\). Следовательно, функция чётная.

3) \(f(x) = \dfrac{x^3 - 7x^2}{3x - 21}\).

Знаменатель \(3x - 21\) обращается в нуль при \(x = 7\), поэтому \(D(f) = \mathbf{R} \setminus \{7\}\). Число \(-7\) принадлежит области определения, а противоположное ему число \(7\) — не принадлежит, значит, область определения не симметрична относительно начала координат.

Если область определения функции не является симметричной относительно начала координат, то эта функция не может быть чётной (нечётной). Следовательно, данная функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: 1) функция нечётная; 2) функция чётная; 3) функция не является ни чётной, ни нечётной.

1) \(y = \sqrt{x^2 + 7x}\).

Область определения задаётся неравенством \(x^2 + 7x \geqslant 0\), то есть \(x(x + 7) \geqslant 0\). Произведение неотрицательно, когда оба множителя неотрицательны (\(x \geqslant 0\)) или оба неположительны (\(x \leqslant -7\)). Значит, \(D(y) = (-\infty;\ -7] \cup [0;\ +\infty)\).

Арифметический квадратный корень равен нулю тогда и только тогда, когда равно нулю подкоренное выражение, поэтому нули функции — корни уравнения \(x^2 + 7x = 0\), то есть числа \(-7\) и \(0\); оба они принадлежат области определения.

При остальных значениях аргумента подкоренное выражение положительно, поэтому положителен и корень. Значит, на каждом из промежутков \((-\infty;\ -7)\) и \((0;\ +\infty)\) функция принимает положительные значения, а отрицательных значений она не принимает ни при каком значении аргумента.

2) \(y = (x + 5)\sqrt{x^2 + 7x}\).

Подкоренное выражение то же, поэтому \(D(y) = (-\infty;\ -7] \cup [0;\ +\infty)\).

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один множитель. Множитель \(x + 5\) обращается в нуль при \(x = -5\), но число \(-5\) не принадлежит области определения, поэтому нулём функции оно не является. Множитель \(\sqrt{x^2 + 7x}\) обращается в нуль при \(x = -7\) и при \(x = 0\). Значит, нули функции — числа \(-7\) и \(0\).

На каждом из промежутков \((-\infty;\ -7)\) и \((0;\ +\infty)\) корень положителен, поэтому знак произведения совпадает со знаком множителя \(x + 5\). Если \(x < -7\), то \(x + 5 < -2\), то есть \(x + 5 < 0\) и \(y < 0\). Если \(x > 0\), то \(x + 5 > 5\), то есть \(x + 5 > 0\) и \(y > 0\).

Ответ: 1) нули — числа \(-7\) и \(0\); функция принимает положительные значения на каждом из промежутков \((-\infty;\ -7)\) и \((0;\ +\infty)\), отрицательных значений не принимает; 2) нули — числа \(-7\) и \(0\); функция принимает отрицательные значения на промежутке \((-\infty;\ -7)\) и положительные значения на промежутке \((0;\ +\infty)\).

Выделим полный квадрат: \(y = -x^2 - 4x + 1 = -\left(x^2 + 4x\right) + 1 = -\left((x + 2)^2 - 4\right) + 1 = -(x + 2)^2 + 5\).

Графиком функции является парабола с вершиной в точке \((-2;\ 5)\), ветви которой направлены вниз. Такая функция возрастает на промежутке \((-\infty;\ -2]\) и убывает на промежутке \([-2;\ +\infty)\).

1) Промежуток \([1;\ 2]\) целиком лежит в промежутке убывания \([-2;\ +\infty)\), поэтому на нём функция убывает. Наибольшее значение убывающая функция принимает в левом конце промежутка, наименьшее — в правом: \[\max\limits_{[1;\ 2]} y = y(1) = -1 - 4 + 1 = -4, \qquad \min\limits_{[1;\ 2]} y = y(2) = -4 - 8 + 1 = -11.\]

2) Промежуток \([-3;\ 0]\) содержит абсциссу вершины \(x = -2\): на промежутке \([-3;\ -2]\) функция возрастает, на промежутке \([-2;\ 0]\) убывает. Значит, наибольшее значение достигается в вершине: \(\max\limits_{[-3;\ 0]} y = y(-2) = -4 + 8 + 1 = 5\).

Наименьшее значение достигается в одном из концов промежутка. Сравним значения на концах: \(y(-3) = -9 + 12 + 1 = 4\) и \(y(0) = 1\). Так как \(1 < 4\), то \(\min\limits_{[-3;\ 0]} y = y(0) = 1\).

Ответ: 1) \(\max\limits_{[1;\ 2]} y = -4\), \(\min\limits_{[1;\ 2]} y = -11\); 2) \(\max\limits_{[-3;\ 0]} y = 5\), \(\min\limits_{[-3;\ 0]} y = 1\).

Знаменатель \(x^2 + 9\) положителен при любом значении аргумента, поэтому \(D(f) = \mathbf{R}\).

Пусть \(a\) — произвольный элемент области значений данной функции, то есть \(a \in E(f)\). Тогда задача сводится к нахождению всех значений параметра \(a\), при которых уравнение \(\dfrac{x}{x^2 + 9} = a\) имеет решения.

Так как \(x^2 + 9 \ne 0\), это уравнение равносильно уравнению \(x = a\left(x^2 + 9\right)\), откуда \[ax^2 - x + 9a = 0.\]

Если \(a = 0\), то полученное уравнение принимает вид \(-x = 0\) и имеет корень \(x = 0\). Следовательно, число \(0\) входит в область значений функции.

Если \(a \ne 0\), то это уравнение является квадратным и наличие корней определяется условием \(D \geqslant 0\). Имеем: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot a \cdot 9a = 1 - 36a^2\). Остаётся решить неравенство \(1 - 36a^2 \geqslant 0\). Имеем: \(36a^2 \leqslant 1\); \(a^2 \leqslant \dfrac{1}{36}\); \(|a| \leqslant \dfrac{1}{6}\).

Решением последнего неравенства является промежуток \(\left[-\dfrac{1}{6};\ \dfrac{1}{6}\right]\). Значение \(a = 0\), разобранное отдельно, этому промежутку принадлежит, поэтому других значений к нему добавлять не нужно.

Ответ: \(E(f) = \left[-\dfrac{1}{6};\ \dfrac{1}{6}\right]\).