Самостоятельная работа 4 Вариант 2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Область истинности предиката \(A(x;\ y)\) — множество тех упорядоченных пар \((x;\ y)\) действительных чисел, для которых равенство \((x - 3)^2 + y^2 = 0\) становится верным.

Каждое из слагаемых \((x - 3)^2\) и \(y^2\) неотрицательно, а сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Значит, равенство \((x - 3)^2 + y^2 = 0\) равносильно системе \[\begin{cases} (x - 3)^2 = 0, \\ y^2 = 0. \end{cases}\]

Отсюда \(x = 3\) и \(y = 0\), то есть истинное высказывание получается для единственной пары \((3;\ 0)\).

Ответ: \(A = \{(3;\ 0)\}\) — множество, единственный элемент которого есть пара \((3;\ 0)\).

Найдём области истинности данных предикатов.

Уравнение \(x^2 - 25 = 0\) запишем в виде \((x - 5)(x + 5) = 0\), откуда \(x = 5\) или \(x = -5\). Значит, область истинности предиката \(A(x)\) — множество \(A = \{-5,\ 5\}\).

Уравнение \(x^2 + 5x = 0\) запишем в виде \(x\,(x + 5) = 0\); произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один множитель, поэтому \(x = 0\) или \(x = -5\). Значит, область истинности предиката \(B(x)\) — множество \(B = \{-5,\ 0\}\).

1) Областью истинности конъюнкции предикатов служит пересечение их областей истинности: \(A \cap B = \{-5,\ 5\} \cap \{-5,\ 0\} = \{-5\}\).

2) Областью истинности дизъюнкции предикатов служит объединение их областей истинности: \(A \cup B = \{-5,\ 5\} \cup \{-5,\ 0\} = \{-5,\ 0,\ 5\}\).

3) Импликация \(A(x) \Rightarrow B(x)\) превращается в ложное высказывание для тех и только тех значений \(x\), при которых предикат \(A(x)\) истинен, а предикат \(B(x)\) ложен. Такое значение одно: число 5 принадлежит множеству \(A\) и не принадлежит множеству \(B\). При всех остальных действительных значениях \(x\) импликация истинна, поэтому её область истинности — множество \(\mathbf{R} \setminus \{5\}\).

4) Эквивалентность \(A(x) \Leftrightarrow B(x)\) превращается в истинное высказывание для тех и только тех значений \(x\), при которых оба предиката истинны или оба ложны. Оба предиката истинны только при \(x = -5\); оба предиката ложны при всех действительных \(x\), кроме чисел \(-5\), 0 и 5. Объединяя эти значения, получаем область истинности \(\mathbf{R} \setminus \{0,\ 5\}\).

Ответ: области истинности: 1) предиката \(A(x) \wedge B(x)\) — множество \(\{-5\}\); 2) предиката \(A(x) \vee B(x)\) — множество \(\{-5,\ 0,\ 5\}\); 3) предиката \(A(x) \Rightarrow B(x)\) — множество \(\mathbf{R} \setminus \{5\}\); 4) предиката \(A(x) \Leftrightarrow B(x)\) — множество \(\mathbf{R} \setminus \{0,\ 5\}\).

1) Выделим в левой части неравенства полный квадрат: \(x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1\). Так как \((x + 2)^2 \geqslant 0\) при любом действительном значении переменной, то и \((x + 2)^2 + 1 \geqslant 1\) при любом её значении. Значит, предикат обращается в истинное высказывание для каждого \(x \in \mathbf{R}\), и подходит квантор общности: \((\forall x \in \mathbf{R})(x^2 + 4x + 5 \geqslant 1)\) — истинное высказывание. Квантор существования тоже даёт истинное высказывание, поскольку неравенство верно при всех действительных значениях переменной, но квантор общности утверждает больше, поэтому ставим именно его.

2) Неравенство \(3x - 5 > 0\) верно не при каждом действительном значении переменной: при \(x = 0\) оно превращается в неверное числовое неравенство \(-5 > 0\). Значит, квантор общности дал бы здесь ложное высказывание. Вместе с тем при \(x = 2\) имеем \(3 \cdot 2 - 5 = 1\), и неравенство \(1 > 0\) верное, то есть значение переменной, обращающее предикат в истинное высказывание, существует. Поэтому нужен квантор существования: \((\exists x \in \mathbf{R})(3x - 5 > 0)\) — истинное высказывание.

Ответ: 1) \((\forall x \in \mathbf{R})(x^2 + 4x + 5 \geqslant 1)\); 2) \((\exists x \in \mathbf{R})(3x - 5 > 0)\).

Предикаты этой теоремы заданы на множестве всех пар прямых, пересечённых секущей. Условие теоремы — «накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны», вывод — «прямые параллельны».

1) Противоположную теорему получают, заменяя и условие, и вывод их отрицаниями. Отрицание условия — «накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, не равны», отрицание вывода — «прямые не параллельны».

Противоположная теорема: если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, не равны, то прямые не параллельны.

2) Теорему, обратную противоположной, получают из противоположной, меняя местами её условие и вывод. Разъяснительная часть — речь идёт о двух прямых и секущей — остаётся и в этой формулировке, без неё непонятно, о каких углах говорится.

Теорема, обратная противоположной: если прямые не параллельны, то накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении этих прямых секущей, не равны.

Ответ: 1) противоположная теорема: если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, не равны, то прямые не параллельны; 2) теорема, обратная противоположной: если прямые не параллельны, то накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении этих прямых секущей, не равны.