Самостоятельная работа 1 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
1) Единственный элемент множества \(\{8\}\) — число 8 — принадлежит множеству \(\{4,\ 6,\ 8\}\), значит, \(\{8\} \subset \{4,\ 6,\ 8\}\) и утверждение верно.
2) Слева от знака \(\subset\) стоит число 8, а не множество, поэтому утверждение неверно (верно другое утверждение: \(8 \in \{4,\ 6,\ 8\}\)).
3) Число 4 — элемент множества \(\{4,\ 6,\ 8\}\), поэтому утверждение верно.
4) Элементы множества \(\{4,\ 6,\ 8\}\) — числа, а \(\{4\}\) — множество, среди этих чисел его нет, поэтому утверждение неверно (верно другое утверждение: \(\{4\} \subset \{4,\ 6,\ 8\}\)).
5) Пустое множество — подмножество любого множества, поэтому утверждение верно.
6) Элементы множества \(\{4,\ 6,\ 8\}\) — числа, множества \(\{\varnothing\}\) среди них нет, поэтому утверждение неверно.
Ответ: верны утверждения 1) \(\{8\} \subset \{4,\ 6,\ 8\}\), 3) \(4 \in \{4,\ 6,\ 8\}\) и 5) \(\varnothing \subset \{4,\ 6,\ 8\}\); неверны утверждения 2) \(8 \subset \{4,\ 6,\ 8\}\), 4) \(\{4\} \in \{4,\ 6,\ 8\}\) и 6) \(\{\varnothing\} \in \{4,\ 6,\ 8\}\).
1) Так как \(\{0\} \subset \{0,\ 9\}\), то \(\{0\} \cup \{0,\ 9\} = \{0,\ 9\}\), а множество \(\{\{0,\ 9\}\}\) состоит из одного элемента — множества \(\{0,\ 9\}\). Это разные множества, поэтому утверждение неверно.
2) Объединению принадлежат числа 0 и 9, других элементов в нём нет, поэтому утверждение верно.
3) Общий элемент множеств \(\{0\}\) и \(\{0,\ 9\}\) только один — число 0, то есть \(\{0\} \cap \{0,\ 9\} = \{0\}\), а число 9 множеству \(\{0\}\) не принадлежит. Поэтому утверждение неверно.
4) Пересечение данных множеств равно \(\{0\}\), поэтому утверждение верно.
Ответ: верны утверждения 2) \(\{0\} \cup \{0,\ 9\} = \{0,\ 9\}\) и 4) \(\{0\} \cap \{0,\ 9\} = \{0\}\); неверны утверждения 1) \(\{0\} \cup \{0,\ 9\} = \{\{0,\ 9\}\}\) и 3) \(\{0\} \cap \{0,\ 9\} = \{9\}\).
\(x^2 - 36 = 0\): \(x^2 = 36\), откуда \(x = -6\) или \(x = 6\), поэтому \(A = \{-6,\ 6\}\).
\((x - 6)(x + 10) = 0\): \(x = 6\) или \(x = -10\), поэтому \(B = \{-10,\ 6\}\).
1) Обоим множествам принадлежит только число 6: \[A \cap B = \{6\}.\]
2) Объединение содержит все элементы обоих множеств: \[A \cup B = \{-10,\ -6,\ 6\}.\]
3) Число 6 принадлежит множеству \(B\), а число \(-6\) — нет: \[A \setminus B = \{-6\}.\]
4) Множеству \(A\) не принадлежит число \(-10\): \[B \setminus A = \{-10\}.\]
Ответ: 1) \(A \cap B = \{6\}\); 2) \(A \cup B = \{-10,\ -6,\ 6\}\); 3) \(A \setminus B = \{-6\}\); 4) \(B \setminus A = \{-10\}\).
1) \(C \cup B\) — круги \(C\) и \(B\) целиком; пересечение с множеством \(A\) оставляет от них только точки круга \(A\). Закрашены общая часть кругов \(A\) и \(B\) и общая часть кругов \(A\) и \(C\); область, общая всем трём кругам, входит в обе и тоже закрашена.
2) \(A \cup C\) — круги \(A\) и \(C\) целиком; разность с множеством \(B\) убирает из них точки круга \(B\). Закрашены круги \(A\) и \(C\) без их частей, лежащих в круге \(B\).
3) \(B \setminus A\) — часть круга \(B\) вне круга \(A\); пересечение с множеством \(C\) оставляет одну область — часть общей области кругов \(B\) и \(C\) вне круга \(A\).
Знак \(\in\) связывает элемент и множество, а знак \(\subset\) — два множества, поэтому в каждом пункте существенно, что именно стоит слева от знака.
1) Множество \(\{8\}\) состоит из одного элемента — числа 8, и это число принадлежит множеству \(\{4,\ 6,\ 8\}\). Значит, каждый элемент множества \(\{8\}\) является элементом множества \(\{4,\ 6,\ 8\}\), то есть утверждение \(\{8\} \subset \{4,\ 6,\ 8\}\) верно.
2) Слева от знака подмножества стоит число 8, а не множество, поэтому такая запись неверна: утверждение \(8 \subset \{4,\ 6,\ 8\}\) неверно. Отношение числа и множества записывают знаком принадлежности, и утверждение \(8 \in \{4,\ 6,\ 8\}\) было бы верным.
3) Число 4 является элементом множества \(\{4,\ 6,\ 8\}\), поэтому утверждение \(4 \in \{4,\ 6,\ 8\}\) верно.
4) Элементы множества \(\{4,\ 6,\ 8\}\) — числа 4, 6 и 8; множества \(\{4\}\) среди них нет. Значит, утверждение \(\{4\} \in \{4,\ 6,\ 8\}\) неверно (верным было бы утверждение \(\{4\} \subset \{4,\ 6,\ 8\}\)).
5) Пустое множество является подмножеством любого множества, поэтому утверждение \(\varnothing \subset \{4,\ 6,\ 8\}\) верно.
6) Множество \(\{\varnothing\}\) содержит один элемент — пустое множество. Элементами множества \(\{4,\ 6,\ 8\}\) являются числа, и множества \(\{\varnothing\}\) среди них нет, поэтому утверждение \(\{\varnothing\} \in \{4,\ 6,\ 8\}\) неверно.
Ответ: верны утверждения 1) \(\{8\} \subset \{4,\ 6,\ 8\}\), 3) \(4 \in \{4,\ 6,\ 8\}\) и 5) \(\varnothing \subset \{4,\ 6,\ 8\}\); неверны утверждения 2) \(8 \subset \{4,\ 6,\ 8\}\), 4) \(\{4\} \in \{4,\ 6,\ 8\}\) и 6) \(\{\varnothing\} \in \{4,\ 6,\ 8\}\).
Результат каждой из операций над множествами — снова множество, поэтому в каждом пункте надо сравнить два множества.
1) Так как \(\{0\} \subset \{0,\ 9\}\), то \(\{0\} \cup \{0,\ 9\} = \{0,\ 9\}\). Множество \(\{\{0,\ 9\}\}\) состоит из одного элемента, и этот элемент — множество \(\{0,\ 9\}\), а множество \(\{0,\ 9\}\) состоит из двух чисел. Это разные множества, поэтому утверждение \(\{0\} \cup \{0,\ 9\} = \{\{0,\ 9\}\}\) неверно.
2) Объединение состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, то есть из чисел 0 и 9. Значит, утверждение \(\{0\} \cup \{0,\ 9\} = \{0,\ 9\}\) верно.
3) Пересечение состоит из элементов, принадлежащих и множеству \(\{0\}\), и множеству \(\{0,\ 9\}\); такой элемент один — число 0, поэтому \(\{0\} \cap \{0,\ 9\} = \{0\}\). Число 9 множеству \(\{0\}\) не принадлежит, поэтому утверждение \(\{0\} \cap \{0,\ 9\} = \{9\}\) неверно.
4) Пересечение данных множеств равно \(\{0\}\), поэтому утверждение \(\{0\} \cap \{0,\ 9\} = \{0\}\) верно.
Ответ: верны утверждения 2) \(\{0\} \cup \{0,\ 9\} = \{0,\ 9\}\) и 4) \(\{0\} \cap \{0,\ 9\} = \{0\}\); неверны утверждения 1) \(\{0\} \cup \{0,\ 9\} = \{\{0,\ 9\}\}\) и 3) \(\{0\} \cap \{0,\ 9\} = \{9\}\).
Множества \(A\) и \(B\) заданы характеристическими свойствами их элементов, поэтому сначала зададим каждое из них перечислением элементов.
Из уравнения \(x^2 - 36 = 0\) получаем \(x^2 = 36\), откуда \(x = -6\) или \(x = 6\). Значит, \(A = \{-6,\ 6\}\).
Произведение \((x - 6)(x + 10)\) равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей: \(x - 6 = 0\) или \(x + 10 = 0\), откуда \(x = 6\) или \(x = -10\). Значит, \(B = \{-10,\ 6\}\).
1) Пересечение состоит из элементов, принадлежащих и множеству \(A\), и множеству \(B\); общий элемент у них один — число 6. Значит, \(A \cap B = \{6\}\).
2) Объединение состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств \(A\) и \(B\): \(A \cup B = \{-10,\ -6,\ 6\}\).
3) Разность \(A \setminus B\) состоит из элементов множества \(A\), не принадлежащих множеству \(B\): число \(-6\) множеству \(B\) не принадлежит, а число 6 принадлежит. Значит, \(A \setminus B = \{-6\}\).
4) Разность \(B \setminus A\) состоит из элементов множества \(B\), не принадлежащих множеству \(A\): число \(-10\) множеству \(A\) не принадлежит, а число 6 принадлежит. Значит, \(B \setminus A = \{-10\}\).
Ответ: 1) \(A \cap B = \{6\}\); 2) \(A \cup B = \{-10,\ -6,\ 6\}\); 3) \(A \setminus B = \{-6\}\); 4) \(B \setminus A = \{-10\}\).
Множества \(A\), \(B\) и \(C\) изображены тремя равными кругами: \(A\) — слева вверху, \(B\) — справа вверху, \(C\) — внизу между ними.
1) Множество \(C \cup B\) — оба круга \(C\) и \(B\) целиком, а пересечение этого объединения с \(A\) оставляет только те точки круга \(A\), которые лежат в круге \(C\) или в круге \(B\). Закрашены общая часть кругов \(A\) и \(B\) и общая часть кругов \(A\) и \(C\); область, принадлежащая всем трём кругам, входит в обе эти части и тоже закрашена.
2) Множество \(A \cup C\) — оба круга \(A\) и \(C\) целиком, а разность с \(B\) удаляет из них все точки, попавшие в круг \(B\). Закрашены круги \(A\) и \(C\) без их частей, лежащих в круге \(B\).
3) Множество \(B \setminus A\) — круг \(B\) без его части, лежащей в круге \(A\), а пересечение с \(C\) оставляет от него только точки круга \(C\). Закрашена та часть общей области кругов \(B\) и \(C\), которая лежит вне круга \(A\), — одна область диаграммы.
