Самостоятельная работа 5 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) \(f(x) = \dfrac{1}{x^3 + 2x}\).

Разложим знаменатель на множители: \(x^3 + 2x = x(x^2 + 2)\). Множитель \(x^2 + 2\) положителен при любом \(x\), поэтому знаменатель обращается в нуль только при \(x = 0\). Значит, \(D(f) = \mathbf{R} \setminus \{0\}\).

Вместе с каждым числом \(x_0 \ne 0\) этому множеству принадлежит и число \(-x_0\), поэтому область определения симметрична относительно начала координат.

Для любого \(x \in D(f)\) имеем: \[f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 + 2(-x)} = \frac{1}{-(x^3 + 2x)} = -\frac{1}{x^3 + 2x} = -f(x).\]

Следовательно, функция \(f\) нечётная.

2) \(f(x) = \sqrt{6 - x^2}\).

Область определения задаётся условием \(6 - x^2 \geqslant 0\), то есть \(x^2 \leqslant 6\), откуда \(|x| \leqslant \sqrt{6}\). Значит, \(D(f) = \left[-\sqrt{6};\ \sqrt{6}\right]\) — отрезок, симметричный относительно начала координат.

Для любого \(x \in D(f)\) имеем: \[f(-x) = \sqrt{6 - (-x)^2} = \sqrt{6 - x^2} = f(x).\]

Следовательно, функция \(f\) чётная.

3) \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4x}{2x - 8}\).

Область определения задаётся условием \(2x - 8 \ne 0\), то есть \(x \ne 4\). Значит, \(D(f) = \mathbf{R} \setminus \{4\}\).

Число \(-4\) принадлежит области определения, а число 4 ей не принадлежит, поэтому область определения не симметрична относительно начала координат. Если область определения функции не является симметричной относительно начала координат, то эта функция не может быть чётной (нечётной).

Следовательно, функция \(f\) не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: 1) функция \(f(x) = \dfrac{1}{x^3 + 2x}\) нечётная; 2) функция \(f(x) = \sqrt{6 - x^2}\) чётная; 3) функция \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4x}{2x - 8}\) не является ни чётной, ни нечётной.

1) \(y = \sqrt{x^2 - 4x}\).

Область определения задаётся условием \(x^2 - 4x \geqslant 0\), то есть \(x(x - 4) \geqslant 0\). Произведение неотрицательно тогда и только тогда, когда оба множителя неотрицательны или оба неположительны. Условия \(x \geqslant 0\) и \(x - 4 \geqslant 0\) выполняются одновременно при \(x \geqslant 4\); условия \(x \leqslant 0\) и \(x - 4 \leqslant 0\) — при \(x \leqslant 0\). Значит, \(D(y) = (-\infty;\ 0] \cup [4;\ +\infty)\).

Нули функции найдём из уравнения \(\sqrt{x^2 - 4x} = 0\). Оно равносильно уравнению \(x^2 - 4x = 0\), то есть \(x(x - 4) = 0\), откуда \(x = 0\) или \(x = 4\). Оба числа принадлежат области определения, значит, нули функции — числа 0 и 4.

Значение арифметического квадратного корня неотрицательно, причём \(\sqrt{x^2 - 4x} > 0\) в точности тогда, когда \(x^2 - 4x > 0\). Строгое неравенство \(x(x - 4) > 0\) выполняется на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и на промежутке \((4;\ +\infty)\). Значит, функция принимает положительные значения на каждом из этих промежутков, а отрицательных значений не принимает ни при одном \(x\).

2) \(y = (x - 1)\sqrt{x^2 - 4x}\).

Подкоренное выражение то же, поэтому \(D(y) = (-\infty;\ 0] \cup [4;\ +\infty)\).

Произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей. Уравнение \(x - 1 = 0\) даёт \(x = 1\), но число 1 не принадлежит области определения, поэтому нулём функции оно не является. Уравнение \(\sqrt{x^2 - 4x} = 0\) даёт \(x = 0\) и \(x = 4\). Значит, нули функции — числа 0 и 4.

На промежутках \((-\infty;\ 0)\) и \((4;\ +\infty)\) множитель \(\sqrt{x^2 - 4x}\) строго положителен, поэтому знак произведения совпадает со знаком множителя \(x - 1\). При \(x < 0\) имеем \(x - 1 < -1 < 0\), значит, \(y < 0\). При \(x > 4\) имеем \(x - 1 > 3 > 0\), значит, \(y > 0\).

Ответ: 1) нули функции \(y = \sqrt{x^2 - 4x}\) — числа 0 и 4; функция принимает положительные значения на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((4;\ +\infty)\) и не принимает отрицательных значений; 2) нули функции \(y = (x - 1)\sqrt{x^2 - 4x}\) — числа 0 и 4; функция принимает отрицательные значения на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и положительные значения на промежутке \((4;\ +\infty)\).

Выделим полный квадрат: \(y = x^2 - 4x + 2 = (x - 2)^2 - 2\).

Графиком функции является парабола с вершиной в точке \((2;\ -2)\), ветви которой направлены вверх. Поэтому функция убывает на промежутке \((-\infty;\ 2]\) и возрастает на промежутке \([2;\ +\infty)\).

1) Отрезок \([-3;\ 1]\) целиком лежит в промежутке убывания \((-\infty;\ 2]\), значит, на нём функция убывает. У убывающей на отрезке функции наибольшее значение достигается в левом конце отрезка, а наименьшее — в правом:
\(y(-3) = 9 + 12 + 2 = 23\) — значение в левом конце;
\(y(1) = 1 - 4 + 2 = -1\) — значение в правом конце.

Значит, \(\max\limits_{[-3;\ 1]} y = y(-3) = 23\), \(\min\limits_{[-3;\ 1]} y = y(1) = -1\).

2) Число 2 лежит внутри отрезка \([1;\ 4]\): на отрезке \([1;\ 2]\) функция убывает, на отрезке \([2;\ 4]\) возрастает. Поэтому наименьшее значение на всём отрезке \([1;\ 4]\) — значение в вершине параболы: \(\min\limits_{[1;\ 4]} y = y(2) = 4 - 8 + 2 = -2\).

Наибольшее значение достигается в одном из концов отрезка: \(y(1) = 1 - 4 + 2 = -1\), \(y(4) = 16 - 16 + 2 = 2\). Так как \(2 > -1\), то \(\max\limits_{[1;\ 4]} y = y(4) = 2\).

Ответ: 1) \(\max\limits_{[-3;\ 1]} y = y(-3) = 23\), \(\min\limits_{[-3;\ 1]} y = y(1) = -1\); 2) \(\max\limits_{[1;\ 4]} y = y(4) = 2\), \(\min\limits_{[1;\ 4]} y = y(2) = -2\).

Пусть \(a\) — произвольный элемент области значений данной функции, то есть \(a \in E(f)\). Тогда задача сводится к нахождению всех значений параметра \(a\), при которых уравнение \(\dfrac{x}{x^2 + 16} = a\) имеет решения.

Знаменатель \(x^2 + 16\) положителен при любом \(x\), поэтому уравнение равносильно такому: \(x = a(x^2 + 16)\), откуда \(ax^2 - x + 16a = 0\).

Если \(a = 0\), то полученное уравнение принимает вид \(-x = 0\) и имеет корень \(x = 0\). Следовательно, число 0 входит в область значений функции.

Если \(a \ne 0\), то это уравнение является квадратным и наличие корней определяется условием \(D \geqslant 0\).

Имеем: \(D = 1 - 64a^2\). Остаётся решить неравенство \(1 - 64a^2 \geqslant 0\). Имеем: \(64a^2 \leqslant 1\); \(a^2 \leqslant \dfrac{1}{64}\); \(|a| \leqslant \dfrac{1}{8}\).

Решением последнего неравенства является промежуток \(\left[-\dfrac{1}{8};\ \dfrac{1}{8}\right]\), и число 0 ему принадлежит.

Проверка: \(f(4) = \dfrac{4}{4^2 + 16} = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}\) и \(f(-4) = -\dfrac{1}{8}\) — оба конца промежутка функция принимает.

Ответ: \(E(f) = \left[-\dfrac{1}{8};\ \dfrac{1}{8}\right]\).