Самостоятельная работа 1 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Знак \(\in\) связывает элемент и множество, а знак \(\subset\) — два множества, поэтому в каждом пункте существенно, что именно стоит слева от знака.

1) Элементы множества \(\{0,\ 5,\ 6\}\) — числа 0, 5 и 6; множества \(\{0\}\) среди них нет. Значит, утверждение \(\{0\} \in \{0,\ 5,\ 6\}\) неверно (верным было бы утверждение \(\{0\} \subset \{0,\ 5,\ 6\}\)).

2) Слева от знака подмножества стоит число 5, а не множество, поэтому такая запись неверна: утверждение \(5 \subset \{0,\ 5,\ 6\}\) неверно. Отношение числа и множества записывают знаком принадлежности, и утверждение \(5 \in \{0,\ 5,\ 6\}\) было бы верным.

3) Число 0 является элементом множества \(\{0,\ 5,\ 6\}\), поэтому утверждение \(0 \in \{0,\ 5,\ 6\}\) верно.

4) Множество \(\{6\}\) состоит из одного элемента — числа 6, и это число принадлежит множеству \(\{0,\ 5,\ 6\}\). Значит, каждый элемент множества \(\{6\}\) является элементом множества \(\{0,\ 5,\ 6\}\), то есть утверждение \(\{6\} \subset \{0,\ 5,\ 6\}\) верно.

5) Множество \(\{\varnothing\}\) содержит один элемент — пустое множество. Элементами множества \(\{0,\ 5,\ 6\}\) являются числа, и множества \(\{\varnothing\}\) среди них нет, поэтому утверждение \(\{\varnothing\} \in \{0,\ 5,\ 6\}\) неверно.

6) Пустое множество является подмножеством любого множества, поэтому утверждение \(\varnothing \subset \{0,\ 5,\ 6\}\) верно.

Ответ: верны утверждения 3) \(0 \in \{0,\ 5,\ 6\}\), 4) \(\{6\} \subset \{0,\ 5,\ 6\}\) и 6) \(\varnothing \subset \{0,\ 5,\ 6\}\); неверны утверждения 1) \(\{0\} \in \{0,\ 5,\ 6\}\), 2) \(5 \subset \{0,\ 5,\ 6\}\) и 5) \(\{\varnothing\} \in \{0,\ 5,\ 6\}\).

Результат каждой из операций над множествами — снова множество, поэтому в каждом пункте надо сравнить два множества.

1) Пересечение состоит из элементов, принадлежащих и множеству \(\{4\}\), и множеству \(\{1,\ 4\}\); такой элемент один — число 4. Значит, утверждение \(\{4\} \cap \{1,\ 4\} = \{4\}\) верно.

2) Пересечение данных множеств равно \(\{4\}\) — множеству, элементом которого является число 4. Множество \(\{\{4\}\}\) состоит из одного элемента, и этот элемент — множество \(\{4\}\), а не число. Это разные множества, поэтому утверждение \(\{4\} \cap \{1,\ 4\} = \{\{4\}\}\) неверно.

3) Так как \(\{4\} \subset \{1,\ 4\}\), то объединение данных множеств равно \(\{1,\ 4\}\), поэтому утверждение \(\{4\} \cup \{1,\ 4\} = \{1,\ 4\}\) верно.

4) Объединение данных множеств состоит из двух чисел 1 и 4, а множество \(\{\{4\}\}\) состоит из одного элемента — множества \(\{4\}\). Значит, утверждение \(\{4\} \cup \{1,\ 4\} = \{\{4\}\}\) неверно.

Ответ: верны утверждения 1) \(\{4\} \cap \{1,\ 4\} = \{4\}\) и 3) \(\{4\} \cup \{1,\ 4\} = \{1,\ 4\}\); неверны утверждения 2) \(\{4\} \cap \{1,\ 4\} = \{\{4\}\}\) и 4) \(\{4\} \cup \{1,\ 4\} = \{\{4\}\}\).

Множества \(A\) и \(B\) заданы характеристическими свойствами их элементов, поэтому сначала зададим каждое из них перечислением элементов.

Из уравнения \(x^2 - 49 = 0\) получаем \(x^2 = 49\), откуда \(x = -7\) или \(x = 7\). Значит, \(A = \{-7,\ 7\}\).

Произведение \((x + 7)(x - 1)\) равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей: \(x + 7 = 0\) или \(x - 1 = 0\), откуда \(x = -7\) или \(x = 1\). Значит, \(B = \{-7,\ 1\}\).

1) Пересечение состоит из элементов, принадлежащих и множеству \(A\), и множеству \(B\); общий элемент у них один — число \(-7\). Значит, \(A \cap B = \{-7\}\).

2) Объединение состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств \(A\) и \(B\): \(A \cup B = \{-7,\ 1,\ 7\}\).

3) Разность \(A \setminus B\) состоит из элементов множества \(A\), не принадлежащих множеству \(B\): число 7 множеству \(B\) не принадлежит, а число \(-7\) принадлежит. Значит, \(A \setminus B = \{7\}\).

4) Разность \(B \setminus A\) состоит из элементов множества \(B\), не принадлежащих множеству \(A\): число 1 множеству \(A\) не принадлежит, а число \(-7\) принадлежит. Значит, \(B \setminus A = \{1\}\).

Ответ: 1) \(A \cap B = \{-7\}\); 2) \(A \cup B = \{-7,\ 1,\ 7\}\); 3) \(A \setminus B = \{7\}\); 4) \(B \setminus A = \{1\}\).

Множества \(A\), \(B\) и \(C\) изображены тремя равными кругами: \(A\) — слева вверху, \(B\) — справа вверху, \(C\) — внизу между ними.

1) Множество \(A \cap B\) — общая часть кругов \(A\) и \(B\), а объединение с \(C\) добавляет к ней весь круг \(C\). Закрашены круг \(C\) целиком и общая часть кругов \(A\) и \(B\), включая ту её долю, которая лежит внутри круга \(C\).

2) Множество \(A \cap C\) — общая часть кругов \(A\) и \(C\), а разность с \(B\) удаляет из неё точки круга \(B\). Закрашена та часть общей области кругов \(A\) и \(C\), которая лежит вне круга \(B\), — одна область диаграммы.

3) Множество \(A \setminus B\) — круг \(A\) без его части, лежащей в круге \(B\), а объединение с \(C\) добавляет весь круг \(C\). Незакрашенными остаются общая часть кругов \(A\) и \(B\) вне круга \(C\), часть круга \(B\) вне кругов \(A\) и \(C\) и часть прямоугольника вне всех трёх кругов.