Самостоятельная работа 34 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) По формуле суммы косинусов \(\cos 10x + \cos 4x = 2\cos\frac{10x + 4x}{2}\cos\frac{10x - 4x}{2} = 2\cos 7x\cos 3x\). Данное уравнение принимает вид \(2\cos 7x\cos 3x = \sqrt{3}\cos 7x\); \(\cos 7x\left(2\cos 3x - \sqrt{3}\right) = 0\).

Переходим к совокупности:

\[\left[\begin{array}{l} \cos 7x = 0, \\ \cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}; \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} 7x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \\ 3x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in \mathbf{Z}. \end{array}\right.\]

Отсюда \(x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}\) или \(x = \pm\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}\).

2) По формуле произведения синуса на косинус \(\sin x\cos 5x = \frac{1}{2}\left(\sin(x - 5x) + \sin(x + 5x)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin(-4x) + \sin 6x\right)\). Синус — функция нечётная, поэтому \(\sin(-4x) = -\sin 4x\) и \(\sin x\cos 5x = \frac{1}{2}\left(\sin 6x - \sin 4x\right)\).

Данное уравнение принимает вид \(\frac{1}{2}\sin 6x - \frac{1}{2}\sin 4x = \sin 6x\), то есть \(\sin 6x + \sin 4x = 0\).

По формуле суммы синусов \(\sin 6x + \sin 4x = 2\sin\frac{6x + 4x}{2}\cos\frac{6x - 4x}{2} = 2\sin 5x\cos x\), поэтому \(\sin 5x\cos x = 0\).

Переходим к совокупности:

\[\left[\begin{array}{l} \sin 5x = 0, \\ \cos x = 0; \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} 5x = \pi n, \\ x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbf{Z}. \end{array}\right.\]

Отсюда \(x = \frac{\pi n}{5}\) или \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\).

3) Понизим степень в обоих слагаемых левой части: \(\sin^2 3x = \frac{1 - \cos 6x}{2}\), \(\sin^2 7x = \frac{1 - \cos 14x}{2}\). Данное уравнение принимает вид

\[\frac{1 - \cos 6x}{2} + \frac{1 - \cos 14x}{2} = 1;\qquad 1 - \frac{\cos 6x + \cos 14x}{2} = 1;\qquad \cos 14x + \cos 6x = 0.\]

По формуле суммы косинусов \(\cos 14x + \cos 6x = 2\cos\frac{14x + 6x}{2}\cos\frac{14x - 6x}{2} = 2\cos 10x\cos 4x\), поэтому \(\cos 10x\cos 4x = 0\).

Переходим к совокупности:

\[\left[\begin{array}{l} \cos 10x = 0, \\ \cos 4x = 0; \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} 10x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \\ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbf{Z}. \end{array}\right.\]

Отсюда \(x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}\) или \(x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}\).

4) По формуле приведения \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - 5x\right) = \sin 5x\). Данное уравнение принимает вид \(\sin 15x = 2\sin 5x\).

По формуле синуса тройного аргумента, применённой к аргументу \(5x\), имеем \(\sin 15x = 3\sin 5x - 4\sin^3 5x\). Тогда

\[3\sin 5x - 4\sin^3 5x = 2\sin 5x;\qquad \sin 5x - 4\sin^3 5x = 0;\qquad \sin 5x\left(1 - 4\sin^2 5x\right) = 0.\]

Переходим к совокупности \(\sin 5x = 0\) или \(\sin^2 5x = \frac{1}{4}\).

Первое уравнение даёт \(5x = \pi n\), то есть \(x = \frac{\pi n}{5}\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Во втором понизим степень: \(\sin^2 5x = \frac{1 - \cos 10x}{2}\), поэтому \(\frac{1 - \cos 10x}{2} = \frac{1}{4}\) и \(\cos 10x = \frac{1}{2}\). Отсюда \(10x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n\) и \(x = \pm\frac{\pi}{30} + \frac{\pi n}{5}\).

5) Так как при любом значении \(x\) выполняются неравенства \(\cos\frac{5x}{4} \leqslant 1\) и \(\cos 2x \leqslant 1\), то корнями данного уравнения являются те значения переменной, при которых значения обоих слагаемых одновременно равны \(1\). Следовательно, данное уравнение равносильно системе

\[\begin{cases} \cos\frac{5x}{4} = 1, \\ \cos 2x = 1. \end{cases}\]

Первое уравнение системы даёт \(\frac{5x}{4} = 2\pi n\), то есть \(x = \frac{8\pi n}{5}\), \(n \in \mathbf{Z}\); второе даёт \(2x = 2\pi k\), то есть \(x = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).

Числа \(\frac{8\pi n}{5}\) и \(\pi k\) совпадают тогда и только тогда, когда \(\frac{8n}{5} = k\), то есть когда \(8n = 5k\). Числа \(8\) и \(5\) взаимно просты, поэтому \(n\) кратно \(5\): \(n = 5m\), \(m \in \mathbf{Z}\) (при этом \(k = 8m\)).

Значит, общие решения обоих уравнений — числа \(x = \frac{8\pi \cdot 5m}{5} = 8\pi m\), \(m \in \mathbf{Z}\).

Проверка: число \(x = \frac{8\pi}{5}\) первому уравнению системы удовлетворяет, но \(\cos\frac{16\pi}{5} = \cos\frac{6\pi}{5} \ne 1\), то есть второму — нет; одной серии для ответа мало.

Ответ: 1) \(\frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}\); \(\pm\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}\); 2) \(\frac{\pi n}{5}\); \(\frac{\pi}{2} + \pi n\); 3) \(\frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}\); \(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}\); 4) \(\frac{\pi n}{5}\); \(\pm\frac{\pi}{30} + \frac{\pi n}{5}\); 5) \(8\pi n\); \(n \in \mathbf{Z}\).