Самостоятельная работа 29 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Уравнение \(\cos 3x = -1\) — частный случай, его корни задаются формулой \(3x = \pi + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Тогда \(x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}\).

2) Косинус — функция чётная, поэтому перепишем данное уравнение в виде \(\cos(2x - 3) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Имеем: \(2x - 3 = \pm\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Далее получаем: \(2x - 3 = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n\); \(2x = 3 \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n\); \(x = \frac{3}{2} \pm \frac{\pi}{12} + \pi n\).

3) Имеем: \(\frac{4\pi x}{3} = \pm\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Далее получаем: \(\frac{4\pi x}{3} = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\); \(4\pi x = \pm 2\pi + 6\pi n\); \(x = \pm\frac{1}{2} + \frac{3n}{2}\).

4) Так как \(\pi > 3\), то \(\frac{\pi}{3} > 1\). Областью значений функции \(y = \cos x\) является промежуток \([-1;\ 1]\), поэтому уравнение \(\cos\left(6x + \frac{\pi}{8}\right) = \frac{\pi}{3}\) корней не имеет.

5) Из данного равенства получаем \(\cos\left(7x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4}\). Так как \(\left|\frac{3}{4}\right| < 1\), уравнение имеет корни: \(7x + \frac{\pi}{6} = \pm\arccos\frac{3}{4} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Далее получаем: \(7x = -\frac{\pi}{6} \pm \arccos\frac{3}{4} + 2\pi n\); \(x = \pm\frac{1}{7}\arccos\frac{3}{4} - \frac{\pi}{42} + \frac{2\pi n}{7}\).

Ответ: 1) \(\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}\), \(n \in \mathbf{Z}\); 2) \(\frac{3}{2} \pm \frac{\pi}{12} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 3) \(\pm\frac{1}{2} + \frac{3n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\); 4) корней нет; 5) \(\pm\frac{1}{7}\arccos\frac{3}{4} - \frac{\pi}{42} + \frac{2\pi n}{7}\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Имеем: \(3x - \frac{\pi}{4} = \pm\arccos\frac{1}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Далее получаем: \(3x - \frac{\pi}{4} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n\); \(3x = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\).

Знаку «плюс» отвечает серия \(3x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n\), то есть \(x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi n}{3}\); знаку «минус» — серия \(3x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi n\), то есть \(x = -\frac{\pi}{36} + \frac{2\pi n}{3}\).

Корни первой серии, удовлетворяющие неравенству \(-\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}\), найдём из двойного неравенства \(-\frac{\pi}{6} < \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi n}{3} < \frac{5\pi}{6}\). Умножим все его части на \(\frac{36}{\pi}\): \(-6 < 7 + 24n < 30\); \(-13 < 24n < 23\); \(-\frac{13}{24} < n < \frac{23}{24}\). Целое значение здесь одно: \(n = 0\), ему отвечает корень \(x = \frac{7\pi}{36}\).

Для второй серии двойное неравенство имеет вид \(-\frac{\pi}{6} < -\frac{\pi}{36} + \frac{2\pi n}{3} < \frac{5\pi}{6}\). Умножим все его части на \(\frac{36}{\pi}\): \(-6 < -1 + 24n < 30\); \(-5 < 24n < 31\); \(-\frac{5}{24} < n < \frac{31}{24}\). Целых значений два: \(n = 0\) и \(n = 1\); им отвечают корни \(x = -\frac{\pi}{36}\) и \(x = -\frac{\pi}{36} + \frac{2\pi}{3} = \frac{23\pi}{36}\).

Ответ: \(-\frac{\pi}{36}\); \(\frac{7\pi}{36}\); \(\frac{23\pi}{36}\).

Функция \(y = \cos x\) убывает на промежутке \([0;\ \pi]\), а так как она чётная, на промежутке \([-\pi;\ 0]\) она возрастает. Значит, на промежутке \(\left[-\frac{\pi}{4};\ 0\right]\) значения функции возрастают от \(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) до \(\cos 0 = 1\), а на промежутке \(\left[0;\ \frac{2\pi}{3}\right]\) убывают от \(1\) до \(\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\).

Изобразим график функции \(y = \cos x\), выделив его часть на промежутке \(\left[-\frac{\pi}{4};\ \frac{2\pi}{3}\right]\). Количество корней уравнения определяется количеством точек пересечения прямой \(y = a\) с выделенной частью графика.

Концы промежутка включены, поэтому обе точки \(\left(-\frac{\pi}{4};\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) и \(\left(\frac{2\pi}{3};\ -\frac{1}{2}\right)\) принадлежат выделенной кривой.

Рассматривая различные положения прямой \(y = a\), получаем такие результаты:

если \(a < -\frac{1}{2}\), то корней нет;

если \(-\frac{1}{2} \leqslant a < \frac{\sqrt{2}}{2}\), то один корень (он лежит на убывающей части кривой);

если \(\frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant a < 1\), то два корня (по одному на возрастающей и на убывающей части);

если \(a = 1\), то один корень \(x = 0\);

если \(a > 1\), то корней нет.

Ответ: если \(a < -\frac{1}{2}\) или \(a > 1\), то корней нет; если \(-\frac{1}{2} \leqslant a < \frac{\sqrt{2}}{2}\) или \(a = 1\), то один корень; если \(\frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant a < 1\), то два корня.