Самостоятельная работа 37 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1. Для каждой из функций, графики которых изображены на рисунке 4, установите:
1) определена ли эта функция в точке \(x_0\);
2) существует ли предел функции в точке \(x_0\); в случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен;

3) если предел в точке \(x_0\) существует, то равен ли он значению функции в этой точке.

а) Функция определена в точке \(x_0\): при \(x = x_0\) на кривой стоит закрашенная точка, её ордината и есть \(f(x_0)\).

Предел функции в точке \(x_0\) существует. Когда значения аргумента приближаются к \(x_0\), оставаясь меньшими \(x_0\), соответствующие значения функции приближаются к \(f(x_0)\); когда значения аргумента приближаются к \(x_0\), оставаясь большими \(x_0\), значения функции приближаются к тому же числу: кривая подходит к закрашенной точке с обеих сторон, разрыва у графика нет. Значит, \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\).

Предел равен значению функции в точке \(x_0\), поэтому функция непрерывна в точке \(x_0\).

б) Функция определена в точке \(x_0\): значение \(f(x_0)\) изображено отдельной закрашенной точкой, лежащей выше кривой.

Предел функции в точке \(x_0\) существует. Когда значения аргумента приближаются к \(x_0\) и оставаясь меньшими \(x_0\), и оставаясь большими \(x_0\), соответствующие значения функции приближаются к числу \(a\) — ординате выколотой точки кривой; поведение функции в самой точке \(x_0\) на значение предела не влияет. Значит, \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a\).

Предел не равен значению функции в точке: \(a \ne f(x_0)\). Поэтому функция не является непрерывной в точке \(x_0\).

в) Функция в точке \(x_0\) не определена: при \(x = x_0\) у графика нет ни одной точки, а сама вертикальная штриховая прямая \(x = x_0\) графику не принадлежит.

Предела функции в точке \(x_0\) не существует. Когда значения аргумента приближаются к \(x_0\), оставаясь меньшими \(x_0\), соответствующие значения функции становятся всё бо́льшими и бо́льшими и неограниченно увеличиваются; когда значения аргумента приближаются к \(x_0\), оставаясь большими \(x_0\), значения функции неограниченно уменьшаются. Числа, к которому стремятся значения функции, не существует.

Предел в точке \(x_0\) не существует, поэтому третий вопрос не рассматривается.

Ответ: а) функция определена в точке \(x_0\); предел существует, \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\); предел равен значению функции в точке, функция непрерывна в точке \(x_0\); б) функция определена в точке \(x_0\); предел существует, \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a\); предел не равен значению функции в точке, так как \(a \ne f(x_0)\), и функция не является непрерывной в точке \(x_0\); в) функция в точке \(x_0\) не определена; предела в точке \(x_0\) не существует; третий вопрос не рассматривается.

При \(x < 1\) график функции \(f\) — часть прямой \(y = 2x + 3\), при \(x \geqslant 1\) — часть параболы \(y = x^2 + 4\).

Значение функции в точке \(x_0 = 1\) задаёт вторая формула: \(f(1) = 1^2 + 4 = 5\). При \(x < 1\) значения выражения \(2x + 3\) по мере приближения значений аргумента к 1 приближаются к числу \(2 \cdot 1 + 3 = 5\), поэтому конец луча и начало параболы — одна и та же точка \((1;\ 5)\), и график не разорван.

Когда значения аргумента приближаются к 1, оставаясь меньшими 1, соответствующие значения функции приближаются к 5; когда значения аргумента приближаются к 1, оставаясь большими 1, значения \(x^2 + 4\) также приближаются к 5. Поэтому \(\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 5\).

Так как \(\lim\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)\), функция \(f\) непрерывна в точке \(x_0 = 1\). Излом графика в этой точке непрерывности не мешает.

Ответ: функция \(f\) непрерывна в точке \(x_0 = 1\).

1) Функция \(y = \cos 3x\) непрерывна, поэтому её предел в точке \(\frac{\pi}{4}\) равен значению функции в этой точке: \[\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\cos 3x = \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{3\pi}{4}.\]

По формуле приведения \(\cos\frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

2) Знаменатель дроби \(x - 7\sqrt{x} = \sqrt{x}\left(\sqrt{x} - 7\right)\) обращается в нуль при \(x = 0\) и при \(x = 49\), поэтому функция определена при \(x > 0\) (и \(x \ne 49\)). В любом интервале, содержащем точку \(0\), есть точки её области определения, отличные от \(0\), поэтому о пределе в точке \(0\) говорить можно.

В точке \(0\) и числитель, и знаменатель дроби обращаются в нуль, поэтому теорему о пределе частного применить нельзя. При \(x > 0\) верно равенство \(x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\), и дробь сокращается на \(\sqrt{x}\): \[\lim\limits_{x \to 0} \frac{4\sqrt{x} - 3x}{x - 7\sqrt{x}} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}\left(4 - 3\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x} - 7\right)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{4 - 3\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 7}.\]

Функция \(y = \frac{4 - 3\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 7}\) непрерывна в точке \(0\) — её знаменатель в этой точке равен \(-7 \ne 0\), — поэтому её предел равен значению в этой точке: \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{4 - 3\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 7} = \frac{4 - 0}{0 - 7} = -\frac{4}{7}\).

3) Корни квадратного трёхчлена \(x^2 - 6x + 5\) — числа \(1\) и \(5\), поэтому \(x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)\); кроме того, \(x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)\). При \(x \ne 5\) и \(x \ne -5\) дробь сокращается на \(x - 5\): \[\lim\limits_{x \to 5} \frac{x^2 - 6x + 5}{x^2 - 25} = \lim\limits_{x \to 5} \frac{(x - 1)(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} = \lim\limits_{x \to 5} \frac{x - 1}{x + 5}.\]

Рациональная функция \(y = \frac{x - 1}{x + 5}\) непрерывна в точке \(5\), поэтому \(\lim\limits_{x \to 5} \frac{x - 1}{x + 5} = \frac{5 - 1}{5 + 5} = \frac{4}{10} = 0{,}4\).

Ответ: 1) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\); 2) \(-\frac{4}{7}\); 3) \(0{,}4\).