Самостоятельная работа 36 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Пусть \(4x = t\). Так как \(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}\), решим неравенство \(\cos t \leqslant \frac{\sqrt{3}}{2}\) на промежутке \(\left[\frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{6} + 2\pi\right]\), то есть на промежутке \(\left[\frac{\pi}{6};\ \frac{13\pi}{6}\right]\) длиной в период функции \(y = \cos t\).

На этом промежутке график функции \(y = \cos t\) расположен не выше графика функции \(y = \frac{\sqrt{3}}{2}\) при \(t \in \left[\frac{\pi}{6};\ \frac{11\pi}{6}\right]\); оба конца включены, поскольку неравенство нестрогое.

С учётом периодичности множеством решений неравенства \(\cos t \leqslant \frac{\sqrt{3}}{2}\) является объединение всех промежутков вида \(\left[\frac{\pi}{6} + 2\pi n;\ \frac{11\pi}{6} + 2\pi n\right]\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Вернёмся к переменной \(x\): \(\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leqslant 4x \leqslant \frac{11\pi}{6} + 2\pi n\), откуда \(\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} \leqslant x \leqslant \frac{11\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}\). Найденные промежутки повторяются через \(\frac{\pi}{2}\) — период функции \(y = \cos 4x\).

2) Пусть \(\frac{5x}{4} - \frac{\pi}{6} = t\). Решим неравенство \(\mathrm{ctg}\,t \geqslant 1\) на промежутке \((0;\ \pi)\) длиной в период функции \(y = \mathrm{ctg}\,t\).

Так как \(\mathrm{arcctg}\,1 = \frac{\pi}{4}\), то на рассматриваемом промежутке график функции \(y = \mathrm{ctg}\,t\) расположен не ниже графика функции \(y = 1\) при \(t \in \left(0;\ \frac{\pi}{4}\right]\): правый конец включён, а левый выколот, потому что в точке \(0\) котангенс не определён.

С учётом периодичности получаем \(\pi n < t \leqslant \frac{\pi}{4} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Вернёмся к переменной \(x\):

\[\pi n < \frac{5x}{4} - \frac{\pi}{6} \leqslant \frac{\pi}{4} + \pi n;\qquad \frac{\pi}{6} + \pi n < \frac{5x}{4} \leqslant \frac{5\pi}{12} + \pi n;\qquad \frac{2\pi}{15} + \frac{4\pi n}{5} < x \leqslant \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi n}{5}.\]

Найденные промежутки повторяются через \(\frac{4\pi}{5}\) — период функции \(y = \mathrm{ctg}\left(\frac{5x}{4} - \frac{\pi}{6}\right)\).

3) Период функции \(y = \sin x\) равен \(2\pi\), поэтому решим двойное неравенство на промежутке \(\left[-\frac{\pi}{6};\ \frac{11\pi}{6}\right]\) длиной в период.

На этом промежутке \(\sin x = -\frac{1}{2}\) при \(x = -\frac{\pi}{6}\) и \(x = \frac{7\pi}{6}\), а \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) при \(x = \frac{\pi}{3}\) и \(x = \frac{2\pi}{3}\). График функции \(y = \sin x\) расположен выше графика функции \(y = -\frac{1}{2}\) и ниже графика функции \(y = \frac{\sqrt{3}}{2}\) при \(x \in \left(-\frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{3}\right)\) и при \(x \in \left(\frac{2\pi}{3};\ \frac{7\pi}{6}\right)\); все концы выколоты, поскольку неравенства строгие.

Эти два промежутка в один промежуток не сливаются.

С учётом периодичности множество решений — объединение всех промежутков вида \(\left(-\frac{\pi}{6} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right)\) и \(\left(\frac{2\pi}{3} + 2\pi n;\ \frac{7\pi}{6} + 2\pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\).

4) Неравенство с модулем равносильно совокупности

\[\left[\begin{array}{l} \mathrm{tg}\,x \geqslant \frac{\sqrt{3}}{3}, \\ \mathrm{tg}\,x \leqslant -\frac{\sqrt{3}}{3}. \end{array}\right.\]

Решим её на промежутке \(\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)\) длиной в период функции \(y = \mathrm{tg}\,x\).

Имеем: \(\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6}\) и \(\mathrm{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}\). На рассматриваемом промежутке график функции \(y = \mathrm{tg}\,x\) расположен не ниже графика функции \(y = \frac{\sqrt{3}}{3}\) при \(x \in \left[\frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{2}\right)\) и не выше графика функции \(y = -\frac{\sqrt{3}}{3}\) при \(x \in \left(-\frac{\pi}{2};\ -\frac{\pi}{6}\right]\). Концы \(-\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{\pi}{2}\) выколоты: в этих точках тангенс не определён.

Полученные промежутки симметричны относительно нуля и в один промежуток не сливаются.

С учётом периодичности множество решений — объединение всех промежутков вида \(\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n;\ -\frac{\pi}{6} + \pi n\right]\) и \(\left[\frac{\pi}{6} + \pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\).

5) Рассмотрим функцию \(f(x) = \cos 2x\left(2\sin x - \sqrt{3}\right)\), \(D(f) = \mathbf{R}\). Она является периодической с периодом \(2\pi\); число \(\pi\) её периодом не является, поскольку \(f(x + \pi) = \cos 2x\left(-2\sin x - \sqrt{3}\right)\).

Найдём нули функции \(f\) на промежутке \(\left[-\frac{\pi}{4};\ \frac{7\pi}{4}\right]\) длиной в период. Имеем: \(\cos 2x\left(2\sin x - \sqrt{3}\right) = 0\);

\[\left[\begin{array}{l} \cos 2x = 0, \\ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}; \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \\ x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in \mathbf{Z}. \end{array}\right.\]

На промежутке \(\left[-\frac{\pi}{4};\ \frac{7\pi}{4}\right]\) функция \(f\) имеет семь нулей: \(-\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{2\pi}{3}\), \(\frac{3\pi}{4}\), \(\frac{5\pi}{4}\), \(\frac{7\pi}{4}\). Эти числа разбивают промежуток на промежутки знакопостоянства, и знак на каждом из них определим по пробной точке.

При \(x = 0\) имеем \(\cos 0 = 1 > 0\) и \(2\sin 0 - \sqrt{3} = -\sqrt{3} < 0\), поэтому на промежутке \(\left(-\frac{\pi}{4};\ \frac{\pi}{4}\right)\) знак «минус».

При \(x = \frac{7\pi}{24}\) имеем \(2x = \frac{7\pi}{12}\), а это число лежит между \(\frac{\pi}{2}\) и \(\pi\), поэтому \(\cos 2x < 0\); кроме того, \(0 < \frac{7\pi}{24} < \frac{\pi}{3}\), а на промежутке \(\left[0;\ \frac{\pi}{2}\right]\) синус возрастает, поэтому \(\sin\frac{7\pi}{24} < \frac{\sqrt{3}}{2}\) и второй множитель отрицателен. Значит, на промежутке \(\left(\frac{\pi}{4};\ \frac{\pi}{3}\right)\) знак «плюс».

При \(x = \frac{\pi}{2}\) имеем \(\cos\pi = -1 < 0\) и \(2\sin\frac{\pi}{2} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3} > 0\), поэтому на промежутке \(\left(\frac{\pi}{3};\ \frac{2\pi}{3}\right)\) знак «минус».

При \(x = \frac{17\pi}{24}\) имеем \(2x = \frac{17\pi}{12}\), а это число лежит между \(\pi\) и \(\frac{3\pi}{2}\), поэтому \(\cos 2x < 0\); кроме того, \(\frac{2\pi}{3} < \frac{17\pi}{24} < \pi\), а на промежутке \(\left[\frac{\pi}{2};\ \pi\right]\) синус убывает, поэтому \(\sin\frac{17\pi}{24} < \frac{\sqrt{3}}{2}\) и второй множитель отрицателен. Значит, на промежутке \(\left(\frac{2\pi}{3};\ \frac{3\pi}{4}\right)\) знак «плюс».

При \(x = \pi\) имеем \(\cos 2\pi = 1 > 0\) и \(2\sin\pi - \sqrt{3} = -\sqrt{3} < 0\), поэтому на промежутке \(\left(\frac{3\pi}{4};\ \frac{5\pi}{4}\right)\) знак «минус».

При \(x = \frac{3\pi}{2}\) имеем \(\cos 3\pi = -1 < 0\) и \(2\sin\frac{3\pi}{2} - \sqrt{3} = -2 - \sqrt{3} < 0\), поэтому на промежутке \(\left(\frac{5\pi}{4};\ \frac{7\pi}{4}\right)\) знак «плюс».

Значит, отрицательные значения функция \(f\) принимает на промежутках \(\left(-\frac{\pi}{4};\ \frac{\pi}{4}\right)\), \(\left(\frac{\pi}{3};\ \frac{2\pi}{3}\right)\) и \(\left(\frac{3\pi}{4};\ \frac{5\pi}{4}\right)\). С учётом периодичности функции \(f\) запишем ответ.

Ответ: 1) \(\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} \leqslant x \leqslant \frac{11\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}\); 2) \(\frac{2\pi}{15} + \frac{4\pi n}{5} < x \leqslant \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi n}{5}\); 3) \(-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n\) или \(\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n\); 4) \(-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant -\frac{\pi}{6} + \pi n\) или \(\frac{\pi}{6} + \pi n \leqslant x < \frac{\pi}{2} + \pi n\); 5) \(-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n\), или \(\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\), или \(\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\); \(n \in \mathbf{Z}\).