Самостоятельная работа 35 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Перейдём к равносильной системе:

\[\begin{cases} \sin 4x = 0, \\ 1 + \cos 4x \ne 0; \end{cases} \qquad \begin{cases} 4x = \pi k,\ k \in \mathbf{Z}, \\ \cos 4x \ne -1. \end{cases}\]

При \(4x = \pi k\) имеем \(\cos 4x = \cos \pi k = (-1)^k\). При нечётных значениях \(k\) знаменатель обращается в нуль, поэтому системе удовлетворяют только чётные значения \(k = 2n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Тогда \(4x = 2\pi n\), откуда \(x = \frac{\pi n}{2}\).

2) По формулам суммы синусов и суммы косинусов

\[\sin 2x + \sin 6x = 2\sin 4x\cos 2x,\qquad \cos 2x + \cos 6x = 2\cos 4x\cos 2x.\]

Сокращать дробь на \(\cos 2x\) нельзя: такое преобразование расширяет область определения уравнения и приводит к посторонним корням. Перейдём к равносильной системе:

\[\begin{cases} \sin 4x\cos 2x = 0, \\ \cos 4x\cos 2x \ne 0. \end{cases}\]

Из условия системы следует, что \(\cos 2x \ne 0\), поэтому уравнение системы равносильно уравнению \(\sin 4x = 0\), откуда \(4x = \pi k\) и \(x = \frac{\pi k}{4}\), \(k \in \mathbf{Z}\).

При \(x = \frac{\pi k}{4}\) имеем \(\cos 2x = \cos\frac{\pi k}{2}\); это число равно нулю при нечётных значениях \(k\), поэтому годятся только чётные значения \(k = 2n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Тогда \(x = \frac{\pi n}{2}\), и для таких чисел \(\cos 4x = \cos 2\pi n = 1 \ne 0\) — второй множитель знаменателя в нуль не обращается.

Проверка: при \(x = \frac{\pi}{4}\) и числитель, и знаменатель данной дроби равны нулю, то есть левая часть в этой точке не определена; такие числа корнями не являются.

3) Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один из множителей; при этом подкоренное выражение обязано быть неотрицательным. Перейдём к равносильной системе:

\[\begin{cases}\left[\begin{array}{l}\cos x = 0,\\ \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0,\end{array}\right.\\ \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \geqslant 0.\end{cases}\]

При \(\cos x = 0\) имеем \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), и тогда \(\sin x = (-1)^k\). Условию \(\sin x \geqslant -\frac{\sqrt{3}}{2}\) отвечают только чётные значения \(k = 2n\): при нечётных \(k\) получается \(\sin x = -1\), а \(-1 < -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Значит, первое уравнение совокупности даёт \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Второе уравнение совокупности — это \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\); для его корней условие системы выполняется как равенство. Так как \(\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}\), то

\[x = (-1)^n \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi n;\qquad x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in \mathbf{Z}.\]

4) Область определения данного уравнения задают условия \(x \ne \frac{\pi}{4} + \pi n\) (иначе не определён тангенс в левой части) и \(x \ne \pi n\) (иначе не определён котангенс в правой части), \(n \in \mathbf{Z}\).

Числа вида \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\) этим условиям удовлетворяют, то есть в область определения входят. Однако формула тангенса суммы и равенство \(\mathrm{ctg}\,x = \frac{1}{\mathrm{tg}\,x}\) имеют смысл лишь при \(\cos x \ne 0\), то есть сужают область определения ровно на эти числа, и корни такого вида были бы потеряны. Проверим их подстановкой: при \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\) левая часть равна \(2\,\mathrm{tg}\left(\frac{3\pi}{4} + \pi n\right) = 2\,\mathrm{tg}\frac{3\pi}{4} = -2\), правая равна \(5 \cdot 0 - 2 = -2\). Значения совпали, значит, все эти числа — корни данного уравнения.

Применив формулу тангенса суммы и равенство \(\mathrm{ctg}\,x = \frac{1}{\mathrm{tg}\,x}\), запишем совокупность, равносильную данному уравнению:

\[\left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbf{Z}, \\ \frac{2\left(\mathrm{tg}\,x + 1\right)}{1 - \mathrm{tg}\,x} = \frac{5}{\mathrm{tg}\,x} - 2. \end{array}\right.\]

Пусть \(\mathrm{tg}\,x = t\); по области определения \(t \ne 0\) и \(t \ne 1\). Умножим обе части второго уравнения совокупности на отличное от нуля число \(t(1 - t)\):

\[2t(t + 1) = (5 - 2t)(1 - t);\qquad 2t^2 + 2t = 5 - 7t + 2t^2;\qquad 9t = 5;\qquad t = \frac{5}{9}.\]

Значит, \(\mathrm{tg}\,x = \frac{5}{9}\) и \(x = \mathrm{arctg}\,\frac{5}{9} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Проверка: при \(\mathrm{tg}\,x = \frac{5}{9}\) имеем \(\mathrm{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{5}{9} + 1}{1 - \frac{5}{9}} = \frac{7}{2}\), и левая часть равна \(7\); кроме того, \(\mathrm{ctg}\,x = \frac{9}{5}\), и правая часть равна \(5 \cdot \frac{9}{5} - 2 = 7\).

Ответ: 1) \(\frac{\pi n}{2}\); 2) \(\frac{\pi n}{2}\); 3) \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\); \((-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n\); 4) \(\frac{\pi}{2} + \pi n\); \(\mathrm{arctg}\,\frac{5}{9} + \pi n\); \(n \in \mathbf{Z}\).