Самостоятельная работа 28 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Применим формулу разности синусов: полуразность аргументов равна \(\frac{\frac{11\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\pi}{4}\), полусумма равна \(\frac{\frac{11\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{2\pi}{3}\). Оба угла табличные: \(\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}\), а \(\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}\) по формуле приведения. Имеем: \[\sin \frac{11\pi}{12} - \sin \frac{5\pi}{12} = 2\sin \frac{\pi}{4}\cos \frac{2\pi}{3} = 2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt2}{2}.\]

2) Полусумма аргументов равна \(\frac{\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \left(x - \frac{\pi}{6}\right)}{2} = x\), полуразность равна \(\frac{\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - \left(x - \frac{\pi}{6}\right)}{2} = \frac{\pi}{6}\). По формуле суммы синусов: \[\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 2\sin x\cos \frac{\pi}{6} = 2\sin x\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \sqrt3\sin x.\]

3) Слагаемые — разные функции, поэтому сначала сведём их к одной формулой приведения: \(\sin 2\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)\). Полусумма аргументов \(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\) и \(6\alpha\) равна \(\frac{\frac{\pi}{2} - 2\alpha + 6\alpha}{2} = \frac{\pi}{4} + 2\alpha\), полуразность равна \(\frac{\frac{\pi}{2} - 2\alpha - 6\alpha}{2} = \frac{\pi}{4} - 4\alpha\). По формуле суммы косинусов: \[\sin 2\alpha + \cos 6\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) + \cos 6\alpha = 2\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right).\]

4) Вынесем множитель \(\sqrt2\) до применения формулы и представим число как косинус табличного угла: \(1 = \sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \sqrt2\cos\frac{\pi}{4}\), поэтому \(\sqrt{2}\cos \alpha + 1 = \sqrt2\left(\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{4}\right)\). Полусумма аргументов \(\alpha\) и \(\frac{\pi}{4}\) равна \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{8}\), полуразность равна \(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{8}\). По формуле суммы косинусов: \[\sqrt{2}\cos \alpha + 1 = \sqrt2\cdot 2\cos\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = 2\sqrt2\cos\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{8}\right).\]

Ответ: 1) \(-\frac{\sqrt2}{2}\); 2) \(\sqrt3\sin x\); 3) \(2\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)\); 4) \(2\sqrt2\cos\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{8}\right)\).

1) По формуле преобразования произведения косинусов в сумму \(\cos x\cos y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) + \cos(x + y))\) разность аргументов идёт первой, а косинус — функция чётная, поэтому знак «минус» под ним снимается: \[\cos 25^\circ \cos 50^\circ = \frac{1}{2}(\cos(25^\circ - 50^\circ) + \cos(25^\circ + 50^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos(-25^\circ) + \cos 75^\circ) = \frac{1}{2}(\cos 25^\circ + \cos 75^\circ).\]

Углы \(25^\circ\) и \(75^\circ\) не табличные, поэтому точно вычислить полученную сумму нельзя — преобразование произведения в сумму на этом закончено.

2) По формуле преобразования произведения синусов в сумму \(\sin x\sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y))\) при \(x = \alpha\) и \(y = \frac{\pi}{6} + \alpha\) разность аргументов равна \(\alpha - \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = -\frac{\pi}{6}\), а сумма равна \(2\alpha + \frac{\pi}{6}\). Косинус чётен, и \(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt3}{2}\), поэтому \[\sin \alpha \sin \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) - \cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\right) = \frac{\sqrt3}{4} - \frac{1}{2}\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{6}\right).\]

Ответ: 1) \(\frac{1}{2}(\cos 25^\circ + \cos 75^\circ)\); 2) \(\frac{\sqrt3}{4} - \frac{1}{2}\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\).

1) Преобразуем левую часть тождества, представив каждое произведение в виде суммы. Разность аргументов идёт первой, а косинус — функция чётная, поэтому \[\sin 2\alpha \sin 4\alpha = \frac{1}{2}(\cos(-2\alpha) - \cos 6\alpha) = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha - \cos 6\alpha),\] \[\cos \alpha \cos 5\alpha = \frac{1}{2}(\cos(-4\alpha) + \cos 6\alpha) = \frac{1}{2}(\cos 4\alpha + \cos 6\alpha).\]

Слагаемые с \(\cos 6\alpha\) взаимно уничтожаются. Полусумма аргументов \(2\alpha\) и \(4\alpha\) равна \(3\alpha\), полуразность равна \(-\alpha\), поэтому по формуле суммы косинусов: \[\sin 2\alpha \sin 4\alpha + \cos \alpha \cos 5\alpha = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 4\alpha) = \frac{1}{2}\cdot 2\cos 3\alpha\cos(-\alpha) = \cos \alpha \cos 3\alpha.\]

2) Преобразуем левую часть по формулам понижения степени \(\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}\) и \(\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}\); единицы при этом взаимно уничтожаются: \[\begin{aligned} &\sin^2 (\alpha - \beta) - \cos^2 (\alpha + \beta) = \frac{1 - \cos(2\alpha - 2\beta)}{2} - \frac{1 + \cos(2\alpha + 2\beta)}{2} = {} \\ &= -\frac{\cos(2\alpha - 2\beta) + \cos(2\alpha + 2\beta)}{2}. \end{aligned}\]

Полусумма аргументов \(2\alpha - 2\beta\) и \(2\alpha + 2\beta\) равна \(2\alpha\), полуразность равна \(-2\beta\), а косинус чётен, поэтому по формуле суммы косинусов \(\cos(2\alpha - 2\beta) + \cos(2\alpha + 2\beta) = 2\cos 2\alpha\cos 2\beta\). Следовательно, \[\sin^2 (\alpha - \beta) - \cos^2 (\alpha + \beta) = -\frac{2\cos 2\alpha\cos 2\beta}{2} = -\cos 2\alpha \cos 2\beta.\]

Ответ: тождества доказаны: 1) \(\sin 2\alpha \sin 4\alpha + \cos \alpha \cos 5\alpha = \cos \alpha \cos 3\alpha\); 2) \(\sin^2 (\alpha - \beta) - \cos^2 (\alpha + \beta) = -\cos 2\alpha \cos 2\beta\).