Самостоятельная работа 29 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Правая часть равна нулю, поэтому пользуемся формулой корней уравнения \(\cos x = 0\). Имеем: \(\frac{8x}{5} = \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Тогда \(8x = \frac{5\pi}{2} + 5\pi n\); \(x = \frac{5\pi}{16} + \frac{5\pi n}{8}\).

2) Косинус — чётная функция, поэтому перепишем данное уравнение в виде \(\cos(3x - 4) = -\frac{1}{2}\). Имеем: \(3x - 4 = \pm\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Так как \(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}\), получаем: \(3x - 4 = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\); \(3x = \pm\frac{2\pi}{3} + 4 + 2\pi n\); \(x = \pm\frac{2\pi}{9} + \frac{4}{3} + \frac{2\pi n}{3}\).

3) Имеем: \(\frac{5\pi x}{6} = \pm\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); \(\frac{5\pi x}{6} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n\). Умножим обе части на \(\frac{6}{5\pi}\) — множитель \(\pi\) сокращается, и корни оказываются рациональными числами: \(x = \pm\frac{1}{5} + \frac{12n}{5}\).

4) Правая часть больше единицы: \(\frac{\pi}{2} > 1\), так как \(\pi > 2\). Областью значений функции \(y = \cos x\) является промежуток \([-1;\ 1]\), поэтому при \(|b| > 1\) уравнение \(\cos x = b\) решений не имеет. Значит, корней нет.

5) Из равенства \(6\cos\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) - 1 = 0\) получаем \(\cos\left(4x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{6}\). Имеем: \(4x - \frac{\pi}{4} = \pm\arccos\frac{1}{6} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Значение \(\arccos\frac{1}{6}\) не табличное, поэтому оставляем его под знаком арккосинуса: \(4x = \pm\arccos\frac{1}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n\); \(x = \pm\frac{1}{4}\arccos\frac{1}{6} + \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}\).

Ответ: 1) \(\frac{5\pi}{16} + \frac{5\pi n}{8}\), \(n \in \mathbf{Z}\); 2) \(\pm\frac{2\pi}{9} + \frac{4}{3} + \frac{2\pi n}{3}\), \(n \in \mathbf{Z}\); 3) \(\pm\frac{1}{5} + \frac{12n}{5}\), \(n \in \mathbf{Z}\); 4) корней нет; 5) \(\pm\frac{1}{4}\arccos\frac{1}{6} + \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Решим уравнение. Имеем: \(2x + \frac{\pi}{6} = \pm\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Так как \(\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}\), получаем: \(2x + \frac{\pi}{6} = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n\); \(2x = \pm\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n\); \(x = \pm\frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{12} + \pi n\).

Для отбора корней запишем эту формулу двумя сериями, приведя слагаемые к общему знаменателю \(24\): \[x = \frac{7\pi}{24} + \pi n \quad \text{и} \quad x = -\frac{11\pi}{24} + \pi n,\ n \in \mathbf{Z}.\]

Промежуток в условии задан строгими неравенствами, поэтому и неравенства для \(n\) будут строгими.

Для первой серии условие \(-\frac{3\pi}{8} < x < \frac{5\pi}{8}\) даёт двойное неравенство \(-\frac{3\pi}{8} < \frac{7\pi}{24} + \pi n < \frac{5\pi}{8}\). Умножим все его части на \(\frac{24}{\pi}\): \(-9 < 7 + 24n < 15\); \(-16 < 24n < 8\); \(-\frac{2}{3} < n < \frac{1}{3}\). Этому условию удовлетворяет одно целое число \(n = 0\), и ему отвечает корень \(x = \frac{7\pi}{24}\).

Для второй серии: \(-\frac{3\pi}{8} < -\frac{11\pi}{24} + \pi n < \frac{5\pi}{8}\); \(-9 < -11 + 24n < 15\); \(2 < 24n < 26\); \(\frac{1}{12} < n < \frac{13}{12}\). Здесь подходит одно целое число \(n = 1\), ему отвечает корень \(x = -\frac{11\pi}{24} + \pi = \frac{13\pi}{24}\).

Ответ: \(\frac{7\pi}{24}\); \(\frac{13\pi}{24}\).

Количество корней уравнения \(\cos x = a\) на данном промежутке равно количеству общих точек прямой \(y = a\) с той частью графика функции \(y = \cos x\), которая отвечает промежутку \(\left[-\frac{\pi}{3};\ \frac{3\pi}{4}\right]\). Изобразим график функции \(y = \cos x\), выделив эту его часть.

Обе концевые точки \(\left(-\frac{\pi}{3};\ \frac{1}{2}\right)\) и \(\left(\frac{3\pi}{4};\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) выделенной кривой принадлежат: промежуток замкнут. На промежутке \(\left[-\frac{\pi}{3};\ 0\right]\) функция \(y = \cos x\) возрастает от \(\frac{1}{2}\) до \(1\), а на промежутке \(\left[0;\ \frac{3\pi}{4}\right]\) убывает от \(1\) до \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Рассматривая различные положения прямой \(y = a\), получаем такие результаты:
если \(a < -\frac{\sqrt{2}}{2}\), то корней нет;
если \(-\frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant a < \frac{1}{2}\), то один корень (он лежит на убывающей части кривой);
если \(\frac{1}{2} \leqslant a < 1\), то два корня (по одному на каждой части);
если \(a = 1\), то один корень (обе части кривой сходятся в точке \((0;\ 1)\));
если \(a > 1\), то корней нет.

Ответ: если \(a < -\frac{\sqrt{2}}{2}\) или \(a > 1\), то корней нет; если \(-\frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant a < \frac{1}{2}\) или \(a = 1\), то один корень; если \(\frac{1}{2} \leqslant a < 1\), то два корня.