Самостоятельная работа 30 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
1) \(\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\); \(2x + \frac{\pi}{6} = (-1)^k\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(2x + \frac{\pi}{6} = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{3} + \pi k\); \(2x = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi k\); \(x = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}\).
2) \(\sin(3 - 2x) = -\frac{1}{2}\); синус нечётен, поэтому \(-\sin(2x - 3) = -\frac{1}{2}\), то есть \(\sin(2x - 3) = \frac{1}{2}\); \(2x - 3 = (-1)^k\arcsin\frac{1}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(2x - 3 = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k\); \(2x = 3 + (-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k\); \(x = \frac{3}{2} + (-1)^k \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}\).
3) \(\pi < 6\), поэтому \(\left|-\frac{\pi}{6}\right| = \frac{\pi}{6} < 1\) и корни есть: \(4x + 3 = (-1)^k\arcsin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(4x = -3 + (-1)^k\arcsin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k\); \(x = -\frac{3}{4} + (-1)^k \cdot \frac{1}{4}\arcsin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi k}{4}\).
4) Разделим обе части уравнения на \(2\): \(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x = -\frac{1}{2}\).
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}\), а \(\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}\), поэтому \(\sin x\cos\frac{\pi}{6} - \cos x\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}\), то есть \(\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\).
\(x - \frac{\pi}{6} = (-1)^k\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(x - \frac{\pi}{6} = (-1)^k \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k\); \(x - \frac{\pi}{6} = (-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k\); \(x = (-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi k\).
Ответ: 1) \((-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 2) \(\frac{3}{2} + (-1)^k \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 3) \(-\frac{3}{4} + (-1)^k \cdot \frac{1}{4}\arcsin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi k}{4}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 4) \((-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
\(\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{7}\), и \(\left|\frac{1}{7}\right| < 1\), значит, корни есть: \(3x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k\arcsin\frac{1}{7} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(3x = \frac{\pi}{4} + (-1)^k\arcsin\frac{1}{7} + \pi k\); \(x = \frac{\pi}{12} + (-1)^k \cdot \frac{1}{3}\arcsin\frac{1}{7} + \frac{\pi k}{3}\).
При чётном \(k = 2n\), \(n \in \mathbf{Z}\): \(x = \frac{\pi}{12} + \frac{1}{3}\arcsin\frac{1}{7} + \frac{2\pi n}{3}\); при нечётном \(k = 2n + 1\): \(x = \frac{\pi}{12} - \frac{1}{3}\arcsin\frac{1}{7} + \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}\), то есть \(x = \frac{5\pi}{12} - \frac{1}{3}\arcsin\frac{1}{7} + \frac{2\pi n}{3}\).
Число \(\arcsin\frac{1}{7}\) принадлежит промежутку \(\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\), на котором синус возрастает, а \(\sin 0 = 0 < \frac{1}{7} < \frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}\), поэтому \(0 < \arcsin\frac{1}{7} < \frac{\pi}{6}\), откуда \(0 < \frac{1}{3}\arcsin\frac{1}{7} < \frac{\pi}{18}\).
При \(n = 0\) первая серия даёт положительное число \(\frac{\pi}{12} + \frac{1}{3}\arcsin\frac{1}{7}\), меньшее \(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{18} = \frac{5\pi}{36}\), а вторая — положительное число \(\frac{5\pi}{12} - \frac{1}{3}\arcsin\frac{1}{7}\), большее \(\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{18} = \frac{13\pi}{36}\); меньшее из них — первое.
При \(n \leqslant -1\) член каждой серии не больше числа, полученного при \(n = 0\) и уменьшенного на \(\frac{2\pi}{3}\); оба числа при \(n = 0\) меньше \(\frac{5\pi}{12}\), а \(\frac{5\pi}{12} < \frac{2\pi}{3}\), поэтому все члены обеих серий при \(n \leqslant -1\) отрицательны.
Значит, наименьший положительный корень — число \(\frac{\pi}{12} + \frac{1}{3}\arcsin\frac{1}{7}\).
Ответ: \(\frac{\pi}{12} + \frac{1}{3}\arcsin\frac{1}{7}\).
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен хотя бы один множитель: \[\left[\begin{array}{l} \cos x = 0, \\ \sin x = a. \end{array}\right.\]
Корни первого уравнения совокупности: \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); промежутку \([0;\ 2\pi]\) принадлежат два из них: \(\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{3\pi}{2}\). Эти два корня данное уравнение имеет при любом значении параметра \(a\).
Количество корней уравнения \(\sin x = a\) равно количеству точек пересечения прямой \(y = a\) с выделенной частью графика функции \(y = \sin x\); на ней отмечены точки с абсциссами \(\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{3\pi}{2}\).
Оба конца промежутка включены, поэтому точки \((0;\ 0)\) и \((2\pi;\ 0)\) принадлежат выделенной кривой. При различных положениях прямой \(y = a\) уравнение \(\sin x = a\) на промежутке \([0;\ 2\pi]\) имеет:
ни одного корня, если \(a < -1\) или \(a > 1\);
один корень, если \(a = -1\) (это число \(\frac{3\pi}{2}\)) или \(a = 1\) (это число \(\frac{\pi}{2}\));
два корня, если \(-1 < a < 0\) или \(0 < a < 1\);
три корня, если \(a = 0\) (это числа \(0\), \(\pi\) и \(2\pi\)).
Так как \(\sin\frac{\pi}{2} = 1\), а \(\sin\frac{3\pi}{2} = -1\), число \(\frac{\pi}{2}\) является корнем уравнения \(\sin x = a\) только при \(a = 1\), а число \(\frac{3\pi}{2}\) — только при \(a = -1\): при этих двух значениях параметра корень совпадает с уже найденным, при остальных совпадений нет.
Складывая корни, получаем: при \(a \leqslant -1\) и при \(a \geqslant 1\) данное уравнение имеет два корня; при \(-1 < a < 0\) и при \(0 < a < 1\) — четыре корня; при \(a = 0\) — пять корней.
Ответ: если \(a \leqslant -1\) или \(a \geqslant 1\), то два корня; если \(-1 < a < 0\) или \(0 < a < 1\), то четыре корня; если \(a = 0\), то пять корней.
1) Из данного равенства получаем \(\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Имеем: \(2x + \frac{\pi}{6} = (-1)^k\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Далее получаем: \(2x + \frac{\pi}{6} = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{3} + \pi k\); \(2x = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi k\); \(x = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}\).
2) Из данного равенства получаем \(\sin(3 - 2x) = -\frac{1}{2}\). Синус — функция нечётная, поэтому перепишем это уравнение в виде \(-\sin(2x - 3) = -\frac{1}{2}\). Тогда \(\sin(2x - 3) = \frac{1}{2}\);
\(2x - 3 = (-1)^k\arcsin\frac{1}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(2x - 3 = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k\); \(2x = 3 + (-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k\); \(x = \frac{3}{2} + (-1)^k \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}\).
3) Так как \(\pi < 6\), то \(\left|-\frac{\pi}{6}\right| = \frac{\pi}{6} < 1\), и уравнение имеет корни: \(4x + 3 = (-1)^k\arcsin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Далее получаем: \(4x = -3 + (-1)^k\arcsin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k\); \(x = -\frac{3}{4} + (-1)^k \cdot \frac{1}{4}\arcsin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi k}{4}\).
4) Разделим обе части уравнения на \(2\): \(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x = -\frac{1}{2}\).
Так как \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}\), а \(\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}\), то можно записать: \(\sin x\cos\frac{\pi}{6} - \cos x\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}\).
Используя формулу синуса разности \(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha - \beta)\), получим: \(\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\).
Тогда \(x - \frac{\pi}{6} = (-1)^k\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(x - \frac{\pi}{6} = (-1)^k \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k\); \(x - \frac{\pi}{6} = (-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k\); \(x = (-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi k\).
Ответ: 1) \((-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 2) \(\frac{3}{2} + (-1)^k \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 3) \(-\frac{3}{4} + (-1)^k \cdot \frac{1}{4}\arcsin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi k}{4}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 4) \((-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Из данного равенства получаем \(\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{7}\). Так как \(\left|\frac{1}{7}\right| < 1\), уравнение имеет корни: \(3x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k\arcsin\frac{1}{7} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Далее получаем: \(3x = \frac{\pi}{4} + (-1)^k\arcsin\frac{1}{7} + \pi k\); \(x = \frac{\pi}{12} + (-1)^k \cdot \frac{1}{3}\arcsin\frac{1}{7} + \frac{\pi k}{3}\).
Если \(k\) — чётное число, то есть \(k = 2n\), \(n \in \mathbf{Z}\), то \(x = \frac{\pi}{12} + \frac{1}{3}\arcsin\frac{1}{7} + \frac{2\pi n}{3}\); если \(k\) — нечётное число, то есть \(k = 2n + 1\), \(n \in \mathbf{Z}\), то \(x = \frac{\pi}{12} - \frac{1}{3}\arcsin\frac{1}{7} + \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}\), то есть \(x = \frac{5\pi}{12} - \frac{1}{3}\arcsin\frac{1}{7} + \frac{2\pi n}{3}\).
Оценим число \(\arcsin\frac{1}{7}\). По определению оно принадлежит промежутку \(\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\), а на этом промежутке синус возрастает. Из неравенств \(\sin 0 = 0 < \frac{1}{7} < \frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}\) получаем \(0 < \arcsin\frac{1}{7} < \frac{\pi}{6}\), откуда \(0 < \frac{1}{3}\arcsin\frac{1}{7} < \frac{\pi}{18}\).
При \(n = 0\) первая серия даёт положительное число \(\frac{\pi}{12} + \frac{1}{3}\arcsin\frac{1}{7}\), которое меньше \(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{18} = \frac{5\pi}{36}\), а вторая — положительное число \(\frac{5\pi}{12} - \frac{1}{3}\arcsin\frac{1}{7}\), которое больше \(\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{18} = \frac{13\pi}{36}\). Значит, меньшее из них — первое.
При \(n \leqslant -1\) член каждой серии не больше числа, полученного при \(n = 0\) и уменьшенного на \(\frac{2\pi}{3}\). Оба числа, полученные при \(n = 0\), меньше \(\frac{5\pi}{12}\), а \(\frac{5\pi}{12} < \frac{2\pi}{3}\), поэтому при \(n \leqslant -1\) все члены обеих серий отрицательны.
Значит, наименьший положительный корень уравнения — число \(\frac{\pi}{12} + \frac{1}{3}\arcsin\frac{1}{7}\).
Ответ: \(\frac{\pi}{12} + \frac{1}{3}\arcsin\frac{1}{7}\).
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому данное уравнение равносильно совокупности:
\[\left[\begin{array}{l} \cos x = 0, \\ \sin x = a. \end{array}\right.\]
Корни первого уравнения совокупности задаются формулой \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); промежутку \([0;\ 2\pi]\) принадлежат два из них: \(\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{3\pi}{2}\). Эти два корня данное уравнение имеет при любом значении параметра \(a\).
Изобразим график функции \(y = \sin x\), выделив его часть на промежутке \([0;\ 2\pi]\) и отметив на ней точки с абсциссами \(\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{3\pi}{2}\) — корни первого уравнения совокупности. Количество корней уравнения \(\sin x = a\) определяется количеством точек пересечения прямой \(y = a\) с выделенной частью графика.
Оба конца промежутка включены, поэтому точки \((0;\ 0)\) и \((2\pi;\ 0)\) принадлежат выделенной кривой.
Рассматривая различные положения прямой \(y = a\), получаем, что уравнение \(\sin x = a\) на промежутке \([0;\ 2\pi]\) имеет:
ни одного корня, если \(a < -1\) или \(a > 1\);
один корень, если \(a = -1\) (это число \(\frac{3\pi}{2}\)) или \(a = 1\) (это число \(\frac{\pi}{2}\));
два корня, если \(-1 < a < 0\) или \(0 < a < 1\);
три корня, если \(a = 0\) (это числа \(0\), \(\pi\) и \(2\pi\)).
Осталось учесть возможные совпадения корней. Так как \(\sin\frac{\pi}{2} = 1\), а \(\sin\frac{3\pi}{2} = -1\), число \(\frac{\pi}{2}\) является корнем уравнения \(\sin x = a\) только при \(a = 1\), а число \(\frac{3\pi}{2}\) — только при \(a = -1\). Значит, при \(a = 1\) и при \(a = -1\) единственный корень уравнения \(\sin x = a\) совпадает с уже найденным корнем, а при остальных значениях параметра \(a\) совпадений нет.
Складывая корни, получаем: при \(a \leqslant -1\) и при \(a \geqslant 1\) данное уравнение имеет два корня; при \(-1 < a < 0\) и при \(0 < a < 1\) — четыре корня; при \(a = 0\) — пять корней.
Ответ: если \(a \leqslant -1\) или \(a \geqslant 1\), то два корня; если \(-1 < a < 0\) или \(0 < a < 1\), то четыре корня; если \(a = 0\), то пять корней.
