Самостоятельная работа 38 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Придадим аргументу в точке \(x_0\) приращение \(\Delta x\). Тогда приращение функции \(f\) в точке \(x_0\) равно

\[\begin{aligned} &\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = {} \\ &= \left(4 - 2(x_0 + \Delta x)^2\right) - \left(4 - 2x_0^2\right) = {} \\ &= 4 - 2x_0^2 - 4x_0\,\Delta x - 2\Delta x^2 - 4 + 2x_0^2 = -4x_0\,\Delta x - 2\Delta x^2. \end{aligned}\]

Отношение приращения функции к приращению аргумента равно

\[\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-4x_0\,\Delta x - 2\Delta x^2}{\Delta x} = -4x_0 - 2\Delta x.\]

Если \(\Delta x \to 0\), то значения выражения \(-4x_0 - 2\Delta x\) стремятся к числу \(-4x_0\), то есть \(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta f}{\Delta x} = -4x_0\).

Ответ: \(\dfrac{\Delta f}{\Delta x} = -4x_0 - 2\Delta x\); \(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta f}{\Delta x} = -4x_0\).

Дано:
\(s(t) = 3t^2 + 1\) (м)
\(t_0 = 4\) с
Найти: \(v(t_0)\) — мгновенную скорость точки в момент времени \(t_0\).
Решение:

Придадим аргументу в точке \(t_0\) приращение \(\Delta t\). За промежуток времени от \(t_0\) до \(t_0 + \Delta t\) точка осуществит перемещение

\[\begin{aligned} &\Delta s = s(t_0 + \Delta t) - s(t_0) = {} \\ &= \left(3(t_0 + \Delta t)^2 + 1\right) - \left(3t_0^2 + 1\right) = 6t_0\,\Delta t + 3\Delta t^2. \end{aligned}\]

Средняя скорость движения точки за этот промежуток времени равна

\[v_{\text{ср}}(\Delta t) = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{6t_0\,\Delta t + 3\Delta t^2}{\Delta t} = 6t_0 + 3\Delta t.\]

Если \(\Delta t \to 0\), то значения выражения \(6t_0 + 3\Delta t\) стремятся к числу \(6t_0\), то есть \(v(t_0) = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = 6t_0\).

Эта формула даёт мгновенную скорость точки в любой момент времени, в частности в момент \(t_0 = 4\) с: \(v(4) = 6 \cdot 4 = 24\) (м/с).

Ответ: \(24\) м/с.

Придадим аргументу в точке \(x_0\) приращение \(\Delta x\) и найдём соответствующее приращение функции:

\[\Delta y = \left((x_0 + \Delta x)^2 + 2\right) - \left(x_0^2 + 2\right) = 2x_0\,\Delta x + \Delta x^2.\]

Угловой коэффициент секущей равен \(k_{\text{сек}}(\Delta x) = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{2x_0\,\Delta x + \Delta x^2}{\Delta x} = 2x_0 + \Delta x\).

Если \(\Delta x \to 0\), то значения выражения \(2x_0 + \Delta x\) стремятся к числу \(2x_0\). Значит, угловой коэффициент касательной к графику в точке с абсциссой \(x_0\) равен

\[k(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = 2x_0.\]

Эта формула даёт угловой коэффициент касательной в любой точке графика, в частности в точке с абсциссой \(x_0 = 1\): \(k(1) = 2 \cdot 1 = 2\).

Ответ: \(2\).