Самостоятельная работа 30 Вариант 2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Из данного равенства получаем \(\sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\). Имеем: \(3x + \frac{\pi}{3} = (-1)^k\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).

Далее получаем: \(3x + \frac{\pi}{3} = (-1)^k \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k\); \(3x + \frac{\pi}{3} = (-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k\); \(3x = (-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi k\); \(x = (-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{18} - \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}\).

2) Из данного равенства получаем \(\sin(4 - 9x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Синус — функция нечётная, поэтому перепишем это уравнение в виде \(-\sin(9x - 4) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Тогда \(\sin(9x - 4) = \frac{\sqrt{3}}{2}\);

\(9x - 4 = (-1)^k\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(9x - 4 = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{3} + \pi k\); \(9x = 4 + (-1)^k \cdot \frac{\pi}{3} + \pi k\); \(x = \frac{4}{9} + (-1)^k \cdot \frac{\pi}{27} + \frac{\pi k}{9}\).

3) Так как \(\pi < 8\), то \(\left|-\frac{\pi}{8}\right| = \frac{\pi}{8} < 1\), и уравнение имеет корни: \(6x - 7 = (-1)^k\arcsin\left(-\frac{\pi}{8}\right) + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).

Далее получаем: \(6x = 7 + (-1)^k\arcsin\left(-\frac{\pi}{8}\right) + \pi k\); \(x = \frac{7}{6} + (-1)^k \cdot \frac{1}{6}\arcsin\left(-\frac{\pi}{8}\right) + \frac{\pi k}{6}\).

4) Разделим обе части уравнения на \(2\): \(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Так как \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}\), а \(\frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3}\), то можно записать: \(\sin\frac{\pi}{3}\cos x + \cos\frac{\pi}{3}\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Используя формулу синуса суммы \(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha + \beta)\), получим: \(\sin\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Тогда \(\frac{\pi}{3} + x = (-1)^k\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(\frac{\pi}{3} + x = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{4} + \pi k\); \(x = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi k\).

Ответ: 1) \((-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{18} - \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 2) \(\frac{4}{9} + (-1)^k \cdot \frac{\pi}{27} + \frac{\pi k}{9}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 3) \(\frac{7}{6} + (-1)^k \cdot \frac{1}{6}\arcsin\left(-\frac{\pi}{8}\right) + \frac{\pi k}{6}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 4) \((-1)^k \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).

Из данного равенства получаем \(\sin\left(4x - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{3}\). Так как \(\left|-\frac{1}{3}\right| < 1\), уравнение имеет корни: \(4x - \frac{\pi}{6} = (-1)^k\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).

Далее получаем: \(4x = \frac{\pi}{6} + (-1)^k\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k\); \(x = \frac{\pi}{24} + (-1)^k \cdot \frac{1}{4}\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi k}{4}\).

Если \(k\) — чётное число, то есть \(k = 2n\), \(n \in \mathbf{Z}\), то \(x = \frac{\pi}{24} + \frac{1}{4}\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi n}{2}\); если \(k\) — нечётное число, то есть \(k = 2n + 1\), \(n \in \mathbf{Z}\), то \(x = \frac{\pi}{24} - \frac{1}{4}\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\), то есть \(x = \frac{7\pi}{24} - \frac{1}{4}\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi n}{2}\).

Оценим число \(\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right)\). По определению оно принадлежит промежутку \(\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\), а на этом промежутке синус возрастает. Из неравенств \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} < -\frac{1}{3} < 0 = \sin 0\) получаем \(-\frac{\pi}{6} < \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) < 0\), откуда \(-\frac{\pi}{24} < \frac{1}{4}\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) < 0\).

При \(n = 0\) первая серия даёт число \(\frac{\pi}{24} + \frac{1}{4}\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right)\), которое положительно и меньше \(\frac{\pi}{24}\), а вторая — число \(\frac{7\pi}{24} - \frac{1}{4}\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right)\), которое больше \(\frac{7\pi}{24}\). Значит, меньшее из них — первое.

При \(n \leqslant -1\) член каждой серии не больше числа, полученного при \(n = 0\) и уменьшенного на \(\frac{\pi}{2}\). Первая серия при \(n = 0\) даёт число, меньшее \(\frac{\pi}{24}\), вторая — меньшее \(\frac{7\pi}{24} + \frac{\pi}{24} = \frac{8\pi}{24}\), а \(\frac{8\pi}{24} < \frac{\pi}{2}\), поэтому при \(n \leqslant -1\) все члены обеих серий отрицательны.

Значит, наименьший положительный корень уравнения — число \(\frac{\pi}{24} + \frac{1}{4}\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right)\).

Ответ: \(\frac{\pi}{24} + \frac{1}{4}\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right)\).

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому данное уравнение равносильно совокупности:

\[\left[\begin{array}{l} \sin x = 0, \\ \cos x = a. \end{array}\right.\]

Корни первого уравнения совокупности задаются формулой \(x = \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); промежутку \(\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\) принадлежит только один из них: \(x = 0\). Этот корень данное уравнение имеет при любом значении параметра \(a\).

Функция \(y = \cos x\) убывает на промежутке \([0;\ \pi]\), а так как она чётная, на промежутке \([-\pi;\ 0]\) она возрастает. Значит, на промежутке \(\left[-\frac{\pi}{2};\ 0\right]\) значения функции возрастают от \(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0\) до \(\cos 0 = 1\), а на промежутке \(\left[0;\ \frac{\pi}{2}\right]\) убывают от \(1\) до \(\cos\frac{\pi}{2} = 0\).

Изобразим график функции \(y = \cos x\), выделив его часть на промежутке \(\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\) и отметив на ней точку с абсциссой \(0\) — корень первого уравнения совокупности. Количество корней уравнения \(\cos x = a\) определяется количеством точек пересечения прямой \(y = a\) с выделенной частью графика.

Оба конца промежутка включены, поэтому точки \(\left(-\frac{\pi}{2};\ 0\right)\) и \(\left(\frac{\pi}{2};\ 0\right)\) принадлежат выделенной кривой.

Рассматривая различные положения прямой \(y = a\), получаем, что уравнение \(\cos x = a\) на промежутке \(\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\) имеет:

ни одного корня, если \(a < 0\) или \(a > 1\);

один корень, если \(a = 1\) (это число \(0\));

два корня, если \(0 \leqslant a < 1\) (при \(a = 0\) это концы промежутка \(-\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{\pi}{2}\)).

Осталось учесть возможные совпадения корней. Так как \(\cos 0 = 1\), число \(0\) является корнем уравнения \(\cos x = a\) только при \(a = 1\). Значит, при \(a = 1\) единственный корень уравнения \(\cos x = a\) совпадает с уже найденным корнем, а при остальных значениях параметра \(a\) совпадений нет.

Складывая корни, получаем: при \(a < 0\) и при \(a \geqslant 1\) данное уравнение имеет один корень; при \(0 \leqslant a < 1\) — три корня.

Ответ: если \(a < 0\) или \(a \geqslant 1\), то один корень; если \(0 \leqslant a < 1\), то три корня.