Самостоятельная работа 35 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Перейдём к равносильной системе:

\[\begin{cases} \sin 8x = 0, \\ 1 - \cos 8x \ne 0; \end{cases} \qquad \begin{cases} 8x = \pi k,\ k \in \mathbf{Z}, \\ \cos 8x \ne 1. \end{cases}\]

При \(8x = \pi k\) имеем \(\cos 8x = \cos \pi k = (-1)^k\). При чётных значениях \(k\) знаменатель обращается в нуль, поэтому системе удовлетворяют только нечётные значения \(k = 2n + 1\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Тогда \(8x = \pi(2n + 1)\), откуда \(x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}\).

2) По формулам разности косинусов и разности синусов

\[\cos 6x - \cos 2x = -2\sin 4x\sin 2x,\qquad \sin 6x - \sin 2x = 2\sin 2x\cos 4x.\]

Сокращать дробь на \(\sin 2x\) нельзя: такое преобразование расширяет область определения уравнения и приводит к посторонним корням. Перейдём к равносильной системе:

\[\begin{cases} \sin 4x\sin 2x = 0, \\ \sin 2x\cos 4x \ne 0. \end{cases}\]

Из условия системы следует, что \(\sin 2x \ne 0\), поэтому уравнение системы равносильно уравнению \(\sin 4x = 0\), откуда \(4x = \pi k\) и \(x = \frac{\pi k}{4}\), \(k \in \mathbf{Z}\).

При \(x = \frac{\pi k}{4}\) имеем \(\sin 2x = \sin\frac{\pi k}{2}\); это число равно нулю при чётных значениях \(k\), поэтому годятся только нечётные значения \(k = 2n + 1\), \(n \in \mathbf{Z}\). Тогда \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\), и для таких чисел \(\cos 4x = \cos \pi k = -1 \ne 0\) — второй множитель знаменателя в нуль не обращается.

Проверка: при \(x = \frac{\pi}{2}\) и числитель, и знаменатель данной дроби равны нулю, то есть левая часть в этой точке не определена; такие числа корнями не являются.

3) Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один из множителей; при этом подкоренное выражение обязано быть неотрицательным. Перейдём к равносильной системе:

\[\begin{cases}\left[\begin{array}{l}\sin x = 0,\\ \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0,\end{array}\right.\\ \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \geqslant 0.\end{cases}\]

При \(\sin x = 0\) имеем \(x = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), и тогда \(\cos x = (-1)^k\). Условию \(\cos x \geqslant -\frac{\sqrt{3}}{2}\) отвечают только чётные значения \(k = 2n\): при нечётных \(k\) получается \(\cos x = -1\), а \(-1 < -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Значит, первое уравнение совокупности даёт \(x = 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Второе уравнение совокупности — это \(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\); для его корней условие системы выполняется как равенство. Так как \(\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}\), то \(x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

4) Область определения данного уравнения задают условия \(x \ne \frac{3\pi}{4} + \pi n\) (иначе не определён тангенс в левой части) и \(x \ne \pi n\) (иначе не определён котангенс в правой части), \(n \in \mathbf{Z}\).

Числа вида \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\) этим условиям удовлетворяют, то есть в область определения входят. Однако формула тангенса разности и равенство \(\mathrm{ctg}\,x = \frac{1}{\mathrm{tg}\,x}\) имеют смысл лишь при \(\cos x \ne 0\), то есть сужают область определения ровно на эти числа, и корни такого вида были бы потеряны. Проверим их подстановкой: при \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\) левая часть равна \(5\,\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \pi n\right) = 5\,\mathrm{tg}\frac{\pi}{4} = 5\), правая равна \(2 \cdot 0 + 5 = 5\). Значения совпали, значит, все эти числа — корни данного уравнения.

Применив формулу тангенса разности и равенство \(\mathrm{ctg}\,x = \frac{1}{\mathrm{tg}\,x}\), запишем совокупность, равносильную данному уравнению:

\[\left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbf{Z}, \\ \frac{5\left(\mathrm{tg}\,x - 1\right)}{1 + \mathrm{tg}\,x} = \frac{2}{\mathrm{tg}\,x} + 5. \end{array}\right.\]

Пусть \(\mathrm{tg}\,x = t\); по области определения \(t \ne 0\) и \(t \ne -1\). Умножим обе части второго уравнения совокупности на отличное от нуля число \(t(1 + t)\):

\[5t(t - 1) = (2 + 5t)(1 + t);\qquad 5t^2 - 5t = 5t^2 + 7t + 2;\qquad -12t = 2;\qquad t = -\frac{1}{6}.\]

Значит, \(\mathrm{tg}\,x = -\frac{1}{6}\), и по свойству нечётности арктангенса \(x = \mathrm{arctg}\left(-\frac{1}{6}\right) + \pi n = -\mathrm{arctg}\,\frac{1}{6} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Проверка: при \(\mathrm{tg}\,x = -\frac{1}{6}\) имеем \(\mathrm{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{-\frac{1}{6} - 1}{1 - \frac{1}{6}} = -\frac{7}{5}\), и левая часть равна \(-7\); кроме того, \(\mathrm{ctg}\,x = -6\), и правая часть равна \(2 \cdot (-6) + 5 = -7\).

Ответ: 1) \(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}\); 2) \(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\); 3) \(2\pi n\); \(\pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n\); 4) \(\frac{\pi}{2} + \pi n\); \(-\mathrm{arctg}\,\frac{1}{6} + \pi n\); \(n \in \mathbf{Z}\).