Самостоятельная работа 41 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
Касательная: \(y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\).
\(f(-1) = \dfrac{-1 - 4}{(-1)^2 - 2} = \dfrac{-5}{-1} = 5\).
\[f'(x) = \frac{(x - 4)'(x^2 - 2) - (x^2 - 2)'(x - 4)}{(x^2 - 2)^2} = \frac{(x^2 - 2) - 2x(x - 4)}{(x^2 - 2)^2} = \frac{-x^2 + 8x - 2}{(x^2 - 2)^2}.\]
\(f'(-1) = \dfrac{-(-1)^2 + 8 \cdot (-1) - 2}{((-1)^2 - 2)^2} = \dfrac{-11}{1} = -11\).
\(y = -11(x + 1) + 5\), то есть \(y = -11x - 6\).
Ответ: \(y = -11x - 6\).
Угловой коэффициент касательной \(k = 7\): она параллельна прямой \(y = 7x - 2\).
\(f'(x) = 2x + 3\).
\(2x_0 + 3 = 7\), где \(x_0\) — абсцисса точки касания, откуда \(x_0 = 2\); точка касания единственная.
\(f(2) = 2^2 + 3 \cdot 2 - 5 = 5\), поэтому \(y = 7(x - 2) + 5\), то есть \(y = 7x - 9\).
Свободные члены различны (\(-9 \ne -2\)), поэтому найденная прямая не совпадает с данной, а параллельна ей.
Ответ: \(y = 7x - 9\).
\(f(1) = -1^2 + 1 = 0\), а \(0 \ne 1\): точка \(A\,(1;\ 1)\) графику функции \(f\) не принадлежит, поэтому абсциссу точки касания брать равной \(1\) нельзя.
Пусть \(x_0\) — абсцисса точки касания: \(f(x_0) = -x_0^2 + 1\), \(f'(x) = -2x\), откуда \(f'(x_0) = -2x_0\) и
\[y = -2x_0(x - x_0) + \left(-x_0^2 + 1\right).\]
Точка \(A\,(1;\ 1)\) этому уравнению удовлетворяет:
\[1 = -2x_0(1 - x_0) + \left(-x_0^2 + 1\right);\quad 1 = -2x_0 + 2x_0^2 - x_0^2 + 1;\quad x_0^2 - 2x_0 = 0.\]
\(x_0(x_0 - 2) = 0\), то есть \(x_0 = 0\) или \(x_0 = 2\): через точку \(A\) проходят две касательные.
При \(x_0 = 0\): \(f(0) = 1\), \(f'(0) = 0\), поэтому \(y = 0 \cdot (x - 0) + 1\), то есть \(y = 1\).
При \(x_0 = 2\): \(f(2) = -2^2 + 1 = -3\), \(f'(2) = -4\), поэтому \(y = -4(x - 2) - 3\), то есть \(y = -4x + 5\).
Ответ: \(y = 1\); \(y = -4x + 5\).
Уравнение касательной к графику функции \(f\) в точке с абсциссой \(x_0\) имеет вид \(y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\).
Значение функции в точке касания: \(f(x_0) = f(-1) = \dfrac{-1 - 4}{(-1)^2 - 2} = \dfrac{-5}{-1} = 5\).
Производную найдём по теореме о производной частного:
\[f'(x) = \frac{(x - 4)'(x^2 - 2) - (x^2 - 2)'(x - 4)}{(x^2 - 2)^2} = \frac{(x^2 - 2) - 2x(x - 4)}{(x^2 - 2)^2} = \frac{-x^2 + 8x - 2}{(x^2 - 2)^2}.\]
Значение производной в точке касания: \(f'(x_0) = f'(-1) = \dfrac{-(-1)^2 + 8 \cdot (-1) - 2}{((-1)^2 - 2)^2} = \dfrac{-11}{1} = -11\).
Подставив найденные числовые значения в уравнение касательной, получаем: \(y = -11(x + 1) + 5\), то есть \(y = -11x - 6\).
Ответ: \(y = -11x - 6\).
Если касательная параллельна прямой \(y = 7x - 2\), то её угловой коэффициент \(k\) равен \(7\).
Найдём производную: \(f'(x) = (x^2 + 3x - 5)' = 2x + 3\).
Так как \(f'(x_0) = k\), где \(x_0\) — абсцисса точки касания искомой прямой и графика функции \(f\), то \(2x_0 + 3 = 7\), откуда \(x_0 = 2\). Точка касания единственная.
При \(x_0 = 2\) имеем: \(f(x_0) = 2^2 + 3 \cdot 2 - 5 = 5\). Тогда уравнение касательной имеет вид \(y = 7(x - 2) + 5\), то есть \(y = 7x - 9\).
Найденная прямая не совпадает с данной прямой: угловые коэффициенты у них равны, а свободные члены различны (\(-9 \ne -2\)), поэтому прямые параллельны.
Ответ: \(y = 7x - 9\).
Заметим, что \(f(1) = -1^2 + 1 = -1 + 1 = 0\), а \(0 \ne 1\). Из этого следует, что точка \(A\,(1;\ 1)\) не принадлежит графику функции \(f\), поэтому абсциссу точки касания брать равной \(1\) нельзя.
Пусть \(x_0\) — абсцисса точки касания. Так как \(f(x_0) = -x_0^2 + 1\) и \(f'(x) = -2x\), откуда \(f'(x_0) = -2x_0\), то уравнение касательной имеет вид
\[y = -2x_0(x - x_0) + \left(-x_0^2 + 1\right).\]
Координаты точки \(A\,(1;\ 1)\) удовлетворяют полученному уравнению, поэтому
\[1 = -2x_0(1 - x_0) + \left(-x_0^2 + 1\right);\quad 1 = -2x_0 + 2x_0^2 - x_0^2 + 1;\quad x_0^2 - 2x_0 = 0.\]
Отсюда \(x_0(x_0 - 2) = 0\), то есть \(x_0 = 0\) или \(x_0 = 2\). Через точку \(A\) проходят две касательные к графику функции \(f\).
При \(x_0 = 0\) получаем: \(f(0) = 1\), \(f'(0) = 0\). Тогда уравнение касательной имеет вид \(y = 0 \cdot (x - 0) + 1\), то есть \(y = 1\).
При \(x_0 = 2\) получаем: \(f(2) = -2^2 + 1 = -4 + 1 = -3\), \(f'(2) = -4\). Тогда уравнение касательной имеет вид \(y = -4(x - 2) - 3\), то есть \(y = -4x + 5\).
Ответ: \(y = 1\); \(y = -4x + 5\).
