Самостоятельная работа 31 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Тангенс — нечётная функция, поэтому \(\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = -\mathrm{tg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)\), и данное уравнение можно переписать в виде \(\mathrm{tg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 1\). Имеем: \(2x - \frac{\pi}{3} = \mathrm{arctg}\,1 + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi k\); \(2x = \frac{7\pi}{12} + \pi k\); \(x = \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}\).

2) Из равенства \(4\,\mathrm{tg}\left(6x - \frac{\pi}{4}\right) - 1 = 0\) получаем \(\mathrm{tg}\left(6x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{4}\). Уравнение \(\mathrm{tg}\,x = b\) имеет решения при любом значении \(b\). Имеем: \(6x - \frac{\pi}{4} = \mathrm{arctg}\,\frac{1}{4} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). Значение \(\mathrm{arctg}\,\frac{1}{4}\) не табличное, поэтому оставляем его под знаком арктангенса: \(6x = \mathrm{arctg}\,\frac{1}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi k\); \(x = \frac{1}{6}\,\mathrm{arctg}\,\frac{1}{4} + \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{6}\).

3) Из равенства \(3\,\mathrm{ctg}\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) - 8 = 0\) получаем \(\mathrm{ctg}\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{8}{3}\). Уравнение \(\mathrm{ctg}\,x = b\) имеет решения при любом значении \(b\). Имеем: \(4x - \frac{\pi}{3} = \mathrm{arcctg}\,\frac{8}{3} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(4x = \mathrm{arcctg}\,\frac{8}{3} + \frac{\pi}{3} + \pi k\); \(x = \frac{1}{4}\,\mathrm{arcctg}\,\frac{8}{3} + \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{4}\).

Ответ: 1) \(\frac{7\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 2) \(\frac{1}{6}\,\mathrm{arctg}\,\frac{1}{4} + \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{6}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 3) \(\frac{1}{4}\,\mathrm{arcctg}\,\frac{8}{3} + \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{4}\), \(k \in \mathbf{Z}\).

Решим уравнение. Имеем: \(4x - \frac{\pi}{6} = \mathrm{arcctg}(-\sqrt{3}) + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). По определению арккотангенса \(\mathrm{arcctg}(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6}\), так как число \(\frac{5\pi}{6}\) принадлежит промежутку \((0;\ \pi)\) и \(\mathrm{ctg}\,\frac{5\pi}{6} = -\sqrt{3}\). Получаем: \(4x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + \pi k\); \(4x = \pi + \pi k\); \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{4}\).

Корень положителен, когда \(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{4} > 0\), то есть когда \(k > -1\). С ростом \(k\) корень возрастает, поэтому наименьший положительный корень отвечает наименьшему целому \(k\), удовлетворяющему этому неравенству, то есть \(k = 0\).

При \(k = 0\) получаем \(x = \frac{\pi}{4}\).

Ответ: \(\frac{\pi}{4}\).

Решим уравнение. Имеем: \(2x = \mathrm{arcctg}\,\frac{\sqrt{3}}{3} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(2x = \frac{\pi}{3} + \pi k\); \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}\).

Отберём корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\pi;\ \frac{\pi}{2}\right]\). Промежуток задан нестрогими неравенствами, поэтому и неравенства для \(k\) будут нестрогими: \(-\pi \leqslant \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \leqslant \frac{\pi}{2}\). Умножим все части на \(\frac{6}{\pi}\): \(-6 \leqslant 1 + 3k \leqslant 3\); \(-7 \leqslant 3k \leqslant 2\); \(-\frac{7}{3} \leqslant k \leqslant \frac{2}{3}\). Этому условию удовлетворяют три целых числа: \(k = -2\), \(k = -1\) и \(k = 0\).

Им отвечают корни \(x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}\), \(x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3}\) и \(x = \frac{\pi}{6}\).

Ответ: три корня: \(-\frac{5\pi}{6}\); \(-\frac{\pi}{3}\); \(\frac{\pi}{6}\).

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Значит, данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \mathrm{tg}\,x = a, \\ \sin x \ne -\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases}\]

Тангенс определён при \(\cos x \ne 0\), а на промежутке \(\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)\) косинус в нуль не обращается, поэтому здесь функция \(y = \mathrm{tg}\,x\) определена во всех точках и других ограничений на \(x\) нет.

Длина промежутка \(\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)\) равна периоду функции \(y = \mathrm{tg}\,x\), и на этом промежутке уравнение \(\mathrm{tg}\,x = a\) при любом \(a\) имеет единственный корень \(\mathrm{arctg}\,a\).

Найдём точки промежутка, в которых знаменатель обращается в нуль. На промежутке \(\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)\) функция \(y = \sin x\) возрастает, поэтому каждое значение она принимает здесь не более одного раза; так как \(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) и число \(-\frac{\pi}{3}\) промежутку принадлежит, то равенство \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) выполняется только при \(x = -\frac{\pi}{3}\).

Единственный корень уравнения \(\mathrm{tg}\,x = a\) выколот тогда и только тогда, когда он равен \(-\frac{\pi}{3}\), то есть когда \(a = \mathrm{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right)\). Так как \(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\), то \(\mathrm{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}\).

Изобразим ветвь графика функции \(y = \mathrm{tg}\,x\) на промежутке \(\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)\) с выколотой точкой \(\left(-\frac{\pi}{3};\ -\sqrt{3}\right)\) и две прямые \(y = a\): одну — проходящую через выколотую точку, другую — в общем положении.

Значит, при \(a = -\sqrt{3}\) единственный корень уравнения \(\mathrm{tg}\,x = a\) на промежутке \(\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)\) обращает знаменатель в нуль, и данное уравнение корней не имеет. При всех остальных значениях параметра этот корень знаменатель в нуль не обращает, и данное уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: если \(a = -\sqrt{3}\), то корней нет; если \(a \ne -\sqrt{3}\), то один корень.