Самостоятельная работа 30 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Из равенства \(2\sin\left(5x - \frac{\pi}{3}\right) + \sqrt{2} = 0\) получаем \(\sin\left(5x - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Имеем: \(5x - \frac{\pi}{3} = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(5x - \frac{\pi}{3} = (-1)^k \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi k\); \(5x - \frac{\pi}{3} = (-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi k\); \(5x = (-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + \pi k\); \(x = (-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{20} + \frac{\pi}{15} + \frac{\pi k}{5}\).

2) Из равенства \(1 - 2\sin(5 - 3x) = 0\) получаем \(\sin(5 - 3x) = \frac{1}{2}\). Синус — нечётная функция, поэтому перепишем данное уравнение в виде \(-\sin(3x - 5) = \frac{1}{2}\). Тогда \(\sin(3x - 5) = -\frac{1}{2}\); \(3x - 5 = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(3x - 5 = (-1)^k \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k\); \(3x - 5 = (-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k\); \(3x = (-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{6} + 5 + \pi k\); \(x = (-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{18} + \frac{5}{3} + \frac{\pi k}{3}\).

3) Модуль правой части меньше единицы: \(\frac{\pi}{6} < 1\), так как \(\pi < 6\). Значит, уравнение имеет корни. Имеем: \(2x - 1 = (-1)^k \arcsin\frac{\pi}{6} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). Значение \(\arcsin\frac{\pi}{6}\) не табличное, поэтому оставляем его под знаком арксинуса: \(2x = (-1)^k \arcsin\frac{\pi}{6} + 1 + \pi k\); \(x = (-1)^k \cdot \frac{1}{2}\arcsin\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} + \frac{\pi k}{2}\).

4) Разделим обе части уравнения на \(2\): \(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Так как \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}\), а \(\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}\), то можно записать: \(\sin x\cos\frac{\pi}{6} + \cos x\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Используя формулу синуса суммы \(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha + \beta)\), получим \(\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Отсюда \(x + \frac{\pi}{6} = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(x + \frac{\pi}{6} = (-1)^k \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi k\); \(x + \frac{\pi}{6} = (-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi k\); \(x = (-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi k\).

Ответ: 1) \((-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{20} + \frac{\pi}{15} + \frac{\pi k}{5}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 2) \((-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{18} + \frac{5}{3} + \frac{\pi k}{3}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 3) \((-1)^k \cdot \frac{1}{2}\arcsin\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} + \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 4) \((-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).

Из равенства \(6\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0\) получаем \(\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{6}\). Имеем: \(3x + \frac{\pi}{6} = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{1}{6}\right) + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(3x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{1}{6}\right) - \frac{\pi}{6} + \pi k\); \(x = (-1)^k \cdot \frac{1}{3}\arcsin\left(-\frac{1}{6}\right) - \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}\).

Значение \(\arcsin\left(-\frac{1}{6}\right)\) не табличное, поэтому оценим его. Число \(\arcsin\left(-\frac{1}{6}\right)\) принадлежит промежутку \(\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\), а на этом промежутке функция \(y = \sin x\) возрастает. Из неравенств \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} < -\frac{1}{6} < 0 = \sin 0\) получаем \(-\frac{\pi}{6} < \arcsin\left(-\frac{1}{6}\right) < 0\), откуда \(-\frac{\pi}{18} < \frac{1}{3}\arcsin\left(-\frac{1}{6}\right) < 0\).

С ростом \(k\) корни возрастают: разность соседних корней равна \(\frac{\pi}{3} - \frac{2}{3}\arcsin\left(-\frac{1}{6}\right)\) или \(\frac{\pi}{3} + \frac{2}{3}\arcsin\left(-\frac{1}{6}\right)\), и обе эти разности положительны, поскольку \(\frac{2}{3}\left|\arcsin\left(-\frac{1}{6}\right)\right| < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{3}\). Поэтому наименьшему положительному корню отвечает наименьшее целое \(k\), при котором корень положителен.

При \(k = 0\) получаем \(x = \frac{1}{3}\arcsin\left(-\frac{1}{6}\right) - \frac{\pi}{18} < 0\): оба слагаемых отрицательны. Значит, отрицательны и все корни при \(k < 0\).

При \(k = 1\) получаем \(x = -\frac{1}{3}\arcsin\left(-\frac{1}{6}\right) - \frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{18} - \frac{1}{3}\arcsin\left(-\frac{1}{6}\right)\): этот корень положителен, так как оба слагаемых положительны.

Ответ: \(\frac{5\pi}{18} - \frac{1}{3}\arcsin\left(-\frac{1}{6}\right)\).

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, данное уравнение равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} \sin x = 0, \\ \cos x = a. \end{array}\right.\]

Корни первого уравнения совокупности задаются формулой \(x = \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Промежутку \([0;\ 2\pi]\) принадлежат три из них: \(0\), \(\pi\) и \(2\pi\) (концы промежутка включены).

Изобразим график функции \(y = \cos x\) на промежутке \([0;\ 2\pi]\) и прямые \(y = a\) в характерных положениях.

При \(|a| > 1\) уравнение \(\cos x = a\) корней не имеет, и данное в условии уравнение имеет три корня.

При \(a = 1\) уравнение \(\cos x = a\) имеет на промежутке \([0;\ 2\pi]\) корни \(0\) и \(2\pi\), а при \(a = -1\) — корень \(\pi\); все они уже найдены как корни уравнения \(\sin x = 0\), поэтому новых корней не добавляется и корней снова три.

При \(-1 < a < 1\) на промежутке \([0;\ \pi]\) функция \(y = \cos x\) убывает от \(1\) до \(-1\), а на промежутке \([\pi;\ 2\pi]\) возрастает от \(-1\) до \(1\), поэтому уравнение \(\cos x = a\) имеет ровно два корня: \(\arccos a\) и \(2\pi - \arccos a\). Первый из них лежит внутри промежутка \((0;\ \pi)\), второй — внутри промежутка \((\pi;\ 2\pi)\), поэтому они различны и ни один из них не совпадает с числами \(0\), \(\pi\), \(2\pi\). Значит, всего корней пять.

Ответ: если \(a \leqslant -1\) или \(a \geqslant 1\), то три корня; если \(-1 < a < 1\), то пять корней.