Самостоятельная работа 34 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
1) По формуле суммы синусов \(\sin 3x + \sin x = 2\sin\frac{3x + x}{2}\cos\frac{3x - x}{2} = 2\sin 2x\cos x\), поэтому \(2\sin 2x\cos x = \sqrt{2}\sin 2x\); \(\sin 2x\left(2\cos x - \sqrt{2}\right) = 0\).
\[\left[\begin{array}{l} \sin 2x = 0, \\ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}; \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} 2x = \pi n, \\ x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbf{Z}. \end{array}\right.\]
Отсюда \(x = \frac{\pi n}{2}\) или \(x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n\).
2) По формуле произведения косинусов \(\cos 7x\cos 3x = \frac{1}{2}\left(\cos 4x + \cos 10x\right)\), поэтому \(\frac{1}{2}\cos 4x + \frac{1}{2}\cos 10x = \cos 4x\), то есть \(\cos 10x - \cos 4x = 0\).
По формуле разности косинусов \(\cos 10x - \cos 4x = -2\sin\frac{10x + 4x}{2}\sin\frac{10x - 4x}{2} = -2\sin 7x\sin 3x\), значит, \(\sin 7x\sin 3x = 0\).
\[\left[\begin{array}{l} \sin 7x = 0, \\ \sin 3x = 0; \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} 7x = \pi n, \\ 3x = \pi n,\ n \in \mathbf{Z}. \end{array}\right.\]
Отсюда \(x = \frac{\pi n}{7}\) или \(x = \frac{\pi n}{3}\).
3) Понизим степень: \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\), \(\sin^2 7x = \frac{1 - \cos 14x}{2}\), и уравнение принимает вид
\[\frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{1 - \cos 14x}{2} = 1;\qquad 1 - \frac{\cos 2x + \cos 14x}{2} = 1;\qquad \cos 14x + \cos 2x = 0.\]
По формуле суммы косинусов \(\cos 14x + \cos 2x = 2\cos\frac{14x + 2x}{2}\cos\frac{14x - 2x}{2} = 2\cos 8x\cos 6x\), поэтому \(\cos 8x\cos 6x = 0\).
\[\left[\begin{array}{l} \cos 8x = 0, \\ \cos 6x = 0; \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} 8x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \\ 6x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbf{Z}. \end{array}\right.\]
Отсюда \(x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}\) или \(x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}\).
4) По формуле приведения \(\cos\left(\frac{3\pi}{2} + 3x\right) = \sin 3x\), поэтому \(\sin 9x = 2\sin 3x\). По формуле синуса тройного аргумента \(\sin 9x = 3\sin 3x - 4\sin^3 3x\), и тогда
\[3\sin 3x - 4\sin^3 3x = 2\sin 3x;\qquad \sin 3x - 4\sin^3 3x = 0;\qquad \sin 3x\left(1 - 4\sin^2 3x\right) = 0.\]
Переходим к совокупности \(\sin 3x = 0\) или \(\sin^2 3x = \frac{1}{4}\).
Первое уравнение даёт \(3x = \pi n\), то есть \(x = \frac{\pi n}{3}\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Во втором понизим степень: \(\frac{1 - \cos 6x}{2} = \frac{1}{4}\) и \(\cos 6x = \frac{1}{2}\), откуда \(6x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n\) и \(x = \pm\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}\).
5) Так как \(\cos\frac{4x}{3} \leqslant 1\) и \(\cos 3x \leqslant 1\) при любом \(x\), корнями будут те значения переменной, при которых оба слагаемых одновременно равны \(1\):
\[\begin{cases} \cos\frac{4x}{3} = 1, \\ \cos 3x = 1. \end{cases}\]
Первое уравнение системы даёт \(\frac{4x}{3} = 2\pi n\), то есть \(x = \frac{3\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\); второе — \(3x = 2\pi k\), то есть \(x = \frac{2\pi k}{3}\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Эти числа совпадают тогда и только тогда, когда \(\frac{3n}{2} = \frac{2k}{3}\), то есть когда \(9n = 4k\); числа \(9\) и \(4\) взаимно просты, поэтому \(n\) кратно \(4\): \(n = 4m\), \(m \in \mathbf{Z}\) (при этом \(k = 9m\)).
Значит, общие решения обоих уравнений — числа \(x = \frac{3\pi \cdot 4m}{2} = 6\pi m\), \(m \in \mathbf{Z}\).
Проверка: число \(x = \frac{3\pi}{2}\) первому уравнению системы удовлетворяет, но \(\cos\frac{9\pi}{2} = 0 \ne 1\), то есть второму — нет; одной серии для ответа мало.
Ответ: 1) \(\frac{\pi n}{2}\); \(\pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n\); 2) \(\frac{\pi n}{7}\); \(\frac{\pi n}{3}\); 3) \(\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}\); \(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}\); 4) \(\frac{\pi n}{3}\); \(\pm\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}\); 5) \(6\pi n\); \(n \in \mathbf{Z}\).
1) По формуле суммы синусов \(\sin 3x + \sin x = 2\sin\frac{3x + x}{2}\cos\frac{3x - x}{2} = 2\sin 2x\cos x\). Данное уравнение принимает вид \(2\sin 2x\cos x = \sqrt{2}\sin 2x\); \(\sin 2x\left(2\cos x - \sqrt{2}\right) = 0\).
Переходим к совокупности:
\[\left[\begin{array}{l} \sin 2x = 0, \\ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}; \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} 2x = \pi n, \\ x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbf{Z}. \end{array}\right.\]
Отсюда \(x = \frac{\pi n}{2}\) или \(x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n\).
2) По формуле произведения косинусов \(\cos 7x\cos 3x = \frac{1}{2}\left(\cos 4x + \cos 10x\right)\). Данное уравнение принимает вид \(\frac{1}{2}\cos 4x + \frac{1}{2}\cos 10x = \cos 4x\), то есть \(\cos 10x - \cos 4x = 0\).
По формуле разности косинусов \(\cos 10x - \cos 4x = -2\sin\frac{10x + 4x}{2}\sin\frac{10x - 4x}{2} = -2\sin 7x\sin 3x\). Значит, \(\sin 7x\sin 3x = 0\).
Переходим к совокупности:
\[\left[\begin{array}{l} \sin 7x = 0, \\ \sin 3x = 0; \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} 7x = \pi n, \\ 3x = \pi n,\ n \in \mathbf{Z}. \end{array}\right.\]
Отсюда \(x = \frac{\pi n}{7}\) или \(x = \frac{\pi n}{3}\).
3) Понизим степень в обоих слагаемых левой части: \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\), \(\sin^2 7x = \frac{1 - \cos 14x}{2}\). Данное уравнение принимает вид
\[\frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{1 - \cos 14x}{2} = 1;\qquad 1 - \frac{\cos 2x + \cos 14x}{2} = 1;\qquad \cos 14x + \cos 2x = 0.\]
По формуле суммы косинусов \(\cos 14x + \cos 2x = 2\cos\frac{14x + 2x}{2}\cos\frac{14x - 2x}{2} = 2\cos 8x\cos 6x\), поэтому \(\cos 8x\cos 6x = 0\).
Переходим к совокупности:
\[\left[\begin{array}{l} \cos 8x = 0, \\ \cos 6x = 0; \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} 8x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \\ 6x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbf{Z}. \end{array}\right.\]
Отсюда \(x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}\) или \(x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}\).
4) По формуле приведения \(\cos\left(\frac{3\pi}{2} + 3x\right) = \sin 3x\). Данное уравнение принимает вид \(\sin 9x = 2\sin 3x\).
По формуле синуса тройного аргумента, применённой к аргументу \(3x\), имеем \(\sin 9x = 3\sin 3x - 4\sin^3 3x\). Тогда
\[3\sin 3x - 4\sin^3 3x = 2\sin 3x;\qquad \sin 3x - 4\sin^3 3x = 0;\qquad \sin 3x\left(1 - 4\sin^2 3x\right) = 0.\]
Переходим к совокупности \(\sin 3x = 0\) или \(\sin^2 3x = \frac{1}{4}\).
Первое уравнение даёт \(3x = \pi n\), то есть \(x = \frac{\pi n}{3}\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Во втором понизим степень: \(\sin^2 3x = \frac{1 - \cos 6x}{2}\), поэтому \(\frac{1 - \cos 6x}{2} = \frac{1}{4}\) и \(\cos 6x = \frac{1}{2}\). Отсюда \(6x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n\) и \(x = \pm\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}\).
5) Так как при любом значении \(x\) выполняются неравенства \(\cos\frac{4x}{3} \leqslant 1\) и \(\cos 3x \leqslant 1\), то корнями данного уравнения являются те значения переменной, при которых значения обоих слагаемых одновременно равны \(1\). Следовательно, данное уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} \cos\frac{4x}{3} = 1, \\ \cos 3x = 1. \end{cases}\]
Первое уравнение системы даёт \(\frac{4x}{3} = 2\pi n\), то есть \(x = \frac{3\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\); второе даёт \(3x = 2\pi k\), то есть \(x = \frac{2\pi k}{3}\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Числа \(\frac{3\pi n}{2}\) и \(\frac{2\pi k}{3}\) совпадают тогда и только тогда, когда \(\frac{3n}{2} = \frac{2k}{3}\), то есть когда \(9n = 4k\). Числа \(9\) и \(4\) взаимно просты, поэтому \(n\) кратно \(4\): \(n = 4m\), \(m \in \mathbf{Z}\) (при этом \(k = 9m\)).
Значит, общие решения обоих уравнений — числа \(x = \frac{3\pi \cdot 4m}{2} = 6\pi m\), \(m \in \mathbf{Z}\).
Проверка: число \(x = \frac{3\pi}{2}\) первому уравнению системы удовлетворяет, но \(\cos\frac{9\pi}{2} = 0 \ne 1\), то есть второму — нет; одной серии для ответа мало.
Ответ: 1) \(\frac{\pi n}{2}\); \(\pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n\); 2) \(\frac{\pi n}{7}\); \(\frac{\pi n}{3}\); 3) \(\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}\); \(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}\); 4) \(\frac{\pi n}{3}\); \(\pm\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}\); 5) \(6\pi n\); \(n \in \mathbf{Z}\).
