Самостоятельная работа 39 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
1) \(y = \dfrac{1 - 4x}{5} = -\dfrac{4}{5}x + \dfrac{1}{5}\) — линейная функция, поэтому \(y' = -\dfrac{4}{5}\).
2) Показатель \(1{,}4\) — рациональное число, а степень с рациональным показателем дифференцируется при \(x > 0\): \(y' = 1{,}4x^{1{,}4 - 1} = 1{,}4x^{0{,}4}\).
3) При \(x > 0\) верно \(\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}\), поэтому \(y = x^{-\frac{2}{3}}\), и степень с рациональным показателем дифференцируется при \(x > 0\): \[y' = -\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3} - 1} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^{5}}} = -\frac{2}{3x\sqrt[3]{x^{2}}}.\]
Ответ: 1) \(y' = -\frac{4}{5}\); 2) \(y' = 1{,}4x^{0{,}4}\) при \(x > 0\); 3) \(y' = -\frac{2}{3x\sqrt[3]{x^{2}}}\) при \(x > 0\).
1) \(f'(x) = \cos x\), поэтому \(f'\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\); косинус чётный, значит, \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
2) При \(x > 0\) верно \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\), поэтому \(f(x) = 8x^2 \cdot x^{\frac{1}{2}} = 8x^{2 + \frac{1}{2}} = 8x^{\frac{5}{2}}\).
Обозначим \(g(x) = x^{\frac{5}{2}}\); тогда \(f(x) = 8g(x)\) и \(\Delta f = 8g(x_0 + \Delta x) - 8g(x_0) = 8\Delta g\), откуда по определению производной и теореме о пределе произведения \[f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{8\Delta g}{\Delta x} = 8\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta g}{\Delta x} = 8g'(x_0).\]
\(g'(x) = \dfrac{5}{2}x^{\frac{5}{2} - 1} = \dfrac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}\), значит, \(f'(x) = 8 \cdot \dfrac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} = 20x^{\frac{3}{2}}\).
\(9^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{9}\right)^3 = 27\), поэтому \(f'(9) = 20 \cdot 27 = 540\).
Ответ: 1) \(f'\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\); 2) \(f'(9) = 540\).
Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой \(x_0\) равен \(f'(x_0)\), а у касательной, наклонённой к положительному направлению оси абсцисс под углом \(\alpha\), он равен \(\mathrm{tg}\,\alpha\).
На рисунке касательная в точке с абсциссой \(x_1\) образует с положительным направлением оси абсцисс угол \(120^\circ\), а \(\mathrm{tg}\,120^\circ = \mathrm{tg}\,(180^\circ - 60^\circ) = -\mathrm{tg}\,60^\circ = -\sqrt{3}\), поэтому \(f'(x_1) = -\sqrt{3}\).
В точке с абсциссой \(x_2\) касательная параллельна оси абсцисс, то есть угол равен \(0^\circ\), поэтому \(f'(x_2) = \mathrm{tg}\,0^\circ = 0\).
В точке с абсциссой \(x_3\) угол равен \(30^\circ\), поэтому \(f'(x_3) = \mathrm{tg}\,30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
Ответ: \(f'(x_1) = -\sqrt{3}\); \(f'(x_2) = 0\); \(f'(x_3) = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой \(x_0\) равен \(f'(x_0)\), то есть \(f'(x_0) = k\).
\(f'(x) = 4x^3\), поэтому для абсциссы точки касания \(4x_0^3 = \dfrac{4}{27}\), откуда \(x_0^3 = \dfrac{1}{27}\).
Функция \(y = x^3\) с нечётным натуральным показателем возрастает, поэтому каждое своё значение принимает ровно при одном значении аргумента: корень единственный. Так как \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}\), то \(x_0 = \dfrac{1}{3}\).
Проверка: \(f'\left(\dfrac{1}{3}\right) = 4 \cdot \dfrac{1}{27} = \dfrac{4}{27}\) — угловой коэффициент такой, как в условии.
Ответ: \(\frac{1}{3}\).
Дано:
\(s(t) = \frac{1}{t^5}\) — закон движения точки по координатной прямой
Найти: \(s'(1)\) и механический смысл этой величины.
Решение:
При \(t \ne 0\) закон движения \(s(t) = t^{-5}\), и \[s'(t) = -5t^{-5 - 1} = -5t^{-6} = -\frac{5}{t^6}.\]
\(s'(1) = -\dfrac{5}{1^6} = -5\).
Найденное число — мгновенная скорость точки в момент времени \(t = 1\). Оно отрицательно, поэтому точка движется в направлении, противоположном положительному направлению координатной прямой (её координата убывает).
Ответ: \(s'(1) = -5\); это мгновенная скорость точки в момент времени \(t = 1\), и она отрицательна, поэтому точка движется в направлении, противоположном положительному направлению координатной прямой.
1) Данная функция линейная: \(y = \frac{1 - 4x}{5} = \frac{1}{5} - \frac{4x}{5} = -\frac{4}{5}x + \frac{1}{5}\). По формуле производной линейной функции \((kx + b)' = k\) получаем \(y' = -\frac{4}{5}\).
2) Показатель \(1{,}4\) — рациональное число, поэтому при \(x > 0\) по формуле \((x^r)' = rx^{r - 1}\), справедливой для любого рационального \(r\): \[y' = 1{,}4x^{1{,}4 - 1} = 1{,}4x^{0{,}4}.\]
3) При \(x > 0\) функцию можно записать в виде \(y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = x^{-\frac{2}{3}}\). По формуле \((x^r)' = rx^{r - 1}\), справедливой для любого рационального \(r\) при \(x > 0\): \[y' = -\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3} - 1} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^{5}}} = -\frac{2}{3x\sqrt[3]{x^{2}}}.\]
Ответ: 1) \(y' = -\frac{4}{5}\); 2) \(y' = 1{,}4x^{0{,}4}\) при \(x > 0\); 3) \(y' = -\frac{2}{3x\sqrt[3]{x^{2}}}\) при \(x > 0\).
1) По формуле производной синуса \(f'(x) = (\sin x)' = \cos x\). Тогда \(f'\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)\). Косинус — чётная функция, поэтому \(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
2) При \(x > 0\) по свойству степени с рациональным показателем \[f(x) = 8x^2\sqrt{x} = 8x^2 \cdot x^{\frac{1}{2}} = 8x^{2 + \frac{1}{2}} = 8x^{\frac{5}{2}}.\]
Обозначим \(g(x) = x^{\frac{5}{2}}\); тогда \(f(x) = 8g(x)\), и приращение функции \(f\) в точке \(x_0\) равно \(\Delta f = 8g(x_0 + \Delta x) - 8g(x_0) = 8\Delta g\). Отсюда по определению производной и теореме о пределе произведения \[f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{8\Delta g}{\Delta x} = 8\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta g}{\Delta x} = 8g'(x_0).\]
По формуле \((x^r)' = rx^{r - 1}\), справедливой для любого рационального \(r\) при \(x > 0\), имеем \(g'(x) = \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2} - 1} = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}\). Значит, \(f'(x) = 8 \cdot \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} = 20x^{\frac{3}{2}}\).
Тогда \(f'(9) = 20 \cdot 9^{\frac{3}{2}} = 20 \cdot \left(\sqrt{9}\right)^3 = 20 \cdot 27 = 540\).
Ответ: 1) \(f'\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\); 2) \(f'(9) = 540\).
Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции \(f\) в точке с абсциссой \(x_0\), равен производной функции \(f\) в точке \(x_0\): \(k(x_0) = f'(x_0)\). Если касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол \(\alpha\), то её угловой коэффициент равен \(\mathrm{tg}\,\alpha\). Значит, \(f'(x_0) = \mathrm{tg}\,\alpha\).
Касательная в точке с абсциссой \(x_1\) образует с положительным направлением оси абсцисс угол \(120^\circ\). По формуле приведения \(\mathrm{tg}\,120^\circ = \mathrm{tg}\,(180^\circ - 60^\circ) = -\mathrm{tg}\,60^\circ = -\sqrt{3}\), поэтому \(f'(x_1) = -\sqrt{3}\).
Касательная в точке с абсциссой \(x_2\) параллельна оси абсцисс, то есть образует с её положительным направлением угол \(0^\circ\), поэтому \(f'(x_2) = \mathrm{tg}\,0^\circ = 0\).
Касательная в точке с абсциссой \(x_3\) образует с положительным направлением оси абсцисс угол \(30^\circ\), поэтому \(f'(x_3) = \mathrm{tg}\,30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
Ответ: \(f'(x_1) = -\sqrt{3}\); \(f'(x_2) = 0\); \(f'(x_3) = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
По формуле \((x^n)' = nx^{n - 1}\), справедливой при натуральном \(n\), имеем \(f'(x) = (x^4)' = 4x^3\).
По геометрическому смыслу производной угловой коэффициент касательной к графику функции \(f\) в точке с абсциссой \(x_0\) равен \(f'(x_0)\), то есть \(4x_0^3 = \frac{4}{27}\). Отсюда \(x_0^3 = \frac{1}{27}\).
Степенная функция \(y = x^3\) с нечётным натуральным показателем возрастает, поэтому каждое своё значение она принимает ровно при одном значении аргумента: полученное уравнение имеет единственный корень. Так как \(\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}\), то \(x_0 = \frac{1}{3}\).
Проверка: \(f'\left(\frac{1}{3}\right) = 4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 4 \cdot \frac{1}{27} = \frac{4}{27}\) — угловой коэффициент такой, как в условии.
Ответ: \(\frac{1}{3}\).
Дано:
\(s(t) = \frac{1}{t^5}\) — закон движения точки по координатной прямой
Найти: \(s'(1)\) и механический смысл этой величины.
Решение:
При \(t \ne 0\) имеем \(s(t) = t^{-5}\). По формуле \((x^n)' = nx^{n - 1}\), справедливой для любого целого \(n\) при \(x \ne 0\): \[s'(t) = -5t^{-5 - 1} = -5t^{-6} = -\frac{5}{t^6}.\]
Тогда \(s'(1) = -\frac{5}{1^6} = -5\).
По механическому смыслу производной найденное число — мгновенная скорость точки в момент времени \(t = 1\). Это значение отрицательно, поэтому в данный момент точка движется в направлении, противоположном положительному направлению координатной прямой (её координата убывает).
Ответ: \(s'(1) = -5\); это мгновенная скорость точки в момент времени \(t = 1\), и она отрицательна, поэтому точка движется в направлении, противоположном положительному направлению координатной прямой.
