Самостоятельная работа 39 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
1) \(y = \dfrac{6 - x}{9} = -\dfrac{1}{9}x + \dfrac{2}{3}\) — линейная функция, поэтому \(y' = -\dfrac{1}{9}\).
2) При \(x \ne 0\) имеем \(y = x^{-11}\), поэтому \(y' = -11x^{-11 - 1} = -11x^{-12} = -\dfrac{11}{x^{12}}\).
3) Показатель корня чётный, а сам корень стоит в знаменателе, поэтому область определения — промежуток \((0;\ +\infty)\). При \(x > 0\) верно \(\sqrt[8]{x^7} = x^{\frac{7}{8}}\), поэтому \(y = x^{-\frac{7}{8}}\), и степень с рациональным показателем дифференцируется при \(x > 0\): \[y' = -\frac{7}{8}x^{-\frac{7}{8} - 1} = -\frac{7}{8}x^{-\frac{15}{8}} = -\frac{7}{8\sqrt[8]{x^{15}}} = -\frac{7}{8x\sqrt[8]{x^{7}}}.\]
Ответ: 1) \(y' = -\frac{1}{9}\); 2) \(y' = -\frac{11}{x^{12}}\); 3) \(y' = -\frac{7}{8x\sqrt[8]{x^{7}}}\) при \(x > 0\).
1) \(f'(x) = -\sin x\), поэтому \(f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
2) При \(x > 0\) верно \(\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}\), поэтому \(\varphi(x) = \dfrac{4x^2}{x^{\frac{1}{4}}} = 4x^{2 - \frac{1}{4}} = 4x^{\frac{7}{4}}\).
Обозначим \(g(x) = x^{\frac{7}{4}}\); тогда \(\varphi(x) = 4g(x)\) и \(\Delta\varphi = 4g(x_0 + \Delta x) - 4g(x_0) = 4\Delta g\), откуда по определению производной и теореме о пределе произведения \[\varphi'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta\varphi}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{4\Delta g}{\Delta x} = 4\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta g}{\Delta x} = 4g'(x_0).\]
\(g'(x) = \dfrac{7}{4}x^{\frac{7}{4} - 1} = \dfrac{7}{4}x^{\frac{3}{4}}\), значит, \(\varphi'(x) = 4 \cdot \dfrac{7}{4}x^{\frac{3}{4}} = 7x^{\frac{3}{4}}\).
\(16^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 8\), поэтому \(\varphi'(16) = 7 \cdot 8 = 56\).
Ответ: 1) \(f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\); 2) \(\varphi'(16) = 56\).
Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой \(x_0\) равен \(f'(x_0)\), а у касательной, наклонённой к положительному направлению оси абсцисс под углом \(\alpha\), он равен \(\mathrm{tg}\,\alpha\).
На рисунке касательная в точке с абсциссой \(x_1\) образует с положительным направлением оси абсцисс угол \(30^\circ\), поэтому \(f'(x_1) = \mathrm{tg}\,30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
В точке с абсциссой \(x_2\) касательная параллельна оси абсцисс, то есть угол равен \(0^\circ\), поэтому \(f'(x_2) = \mathrm{tg}\,0^\circ = 0\).
В точке с абсциссой \(x_3\) угол равен \(135^\circ\), а \(\mathrm{tg}\,135^\circ = \mathrm{tg}\,(180^\circ - 45^\circ) = -\mathrm{tg}\,45^\circ = -1\), поэтому \(f'(x_3) = -1\).
Ответ: \(f'(x_1) = \frac{\sqrt{3}}{3}\); \(f'(x_2) = 0\); \(f'(x_3) = -1\).
Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой \(x_0\) равен \(f'(x_0)\), то есть \(f'(x_0) = k\).
\(f'(x) = 7x^6\), поэтому для абсциссы точки касания \(7x_0^6 = \dfrac{7}{64}\), откуда \(x_0^6 = \dfrac{1}{64}\).
Показатель степени чётный, а правая часть положительна, поэтому корней два — два противоположных числа. Так как \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^6 = \dfrac{1}{64}\), то \(x_0 = -\dfrac{1}{2}\) или \(x_0 = \dfrac{1}{2}\).
Проверка: \(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^6 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^6 = \dfrac{1}{64}\), поэтому \(f'\left(-\dfrac{1}{2}\right) = f'\left(\dfrac{1}{2}\right) = 7 \cdot \dfrac{1}{64} = \dfrac{7}{64}\) — угловой коэффициент такой, как в условии.
Ответ: \(-\frac{1}{2}\); \(\frac{1}{2}\).
Дано:
\(s(t) = \frac{1}{t^4}\) — закон движения точки по координатной прямой
Найти: \(s'(2)\) и механический смысл этой величины.
Решение:
При \(t \ne 0\) закон движения \(s(t) = t^{-4}\), и \[s'(t) = -4t^{-4 - 1} = -4t^{-5} = -\frac{4}{t^5}.\]
\(s'(2) = -\dfrac{4}{2^5} = -\dfrac{4}{32} = -\dfrac{1}{8}\).
Найденное число — мгновенная скорость точки в момент времени \(t = 2\). Оно отрицательно, поэтому точка движется в направлении, противоположном положительному направлению координатной прямой (её координата убывает).
Ответ: \(s'(2) = -\frac{1}{8}\); это мгновенная скорость точки в момент времени \(t = 2\), и она отрицательна, поэтому точка движется в направлении, противоположном положительному направлению координатной прямой.
1) Данная функция линейная: \(y = \frac{6 - x}{9} = \frac{6}{9} - \frac{x}{9} = -\frac{1}{9}x + \frac{2}{3}\). По формуле производной линейной функции \((kx + b)' = k\) получаем \(y' = -\frac{1}{9}\).
2) При \(x \ne 0\) имеем \(y = \frac{1}{x^{11}} = x^{-11}\). По формуле \((x^n)' = nx^{n - 1}\), справедливой для любого целого \(n\) при \(x \ne 0\): \[y' = -11x^{-11 - 1} = -11x^{-12} = -\frac{11}{x^{12}}.\]
3) Показатель корня чётный, а сам корень стоит в знаменателе, поэтому область определения данной функции — промежуток \((0;\ +\infty)\). При \(x > 0\) имеем \(y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^7}} = \frac{1}{x^{\frac{7}{8}}} = x^{-\frac{7}{8}}\). По формуле \((x^r)' = rx^{r - 1}\), справедливой для любого рационального \(r\) при \(x > 0\): \[y' = -\frac{7}{8}x^{-\frac{7}{8} - 1} = -\frac{7}{8}x^{-\frac{15}{8}} = -\frac{7}{8\sqrt[8]{x^{15}}} = -\frac{7}{8x\sqrt[8]{x^{7}}}.\]
Ответ: 1) \(y' = -\frac{1}{9}\); 2) \(y' = -\frac{11}{x^{12}}\); 3) \(y' = -\frac{7}{8x\sqrt[8]{x^{7}}}\) при \(x > 0\).
1) По формуле производной косинуса \(f'(x) = (\cos x)' = -\sin x\). Тогда \(f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
2) При \(x > 0\) по свойству степени с рациональным показателем \[\varphi(x) = \frac{4x^2}{\sqrt[4]{x}} = \frac{4x^2}{x^{\frac{1}{4}}} = 4x^{2 - \frac{1}{4}} = 4x^{\frac{7}{4}}.\]
Обозначим \(g(x) = x^{\frac{7}{4}}\); тогда \(\varphi(x) = 4g(x)\), и приращение функции \(\varphi\) в точке \(x_0\) равно \(\Delta\varphi = 4g(x_0 + \Delta x) - 4g(x_0) = 4\Delta g\). Отсюда по определению производной и теореме о пределе произведения \[\varphi'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta\varphi}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{4\Delta g}{\Delta x} = 4\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta g}{\Delta x} = 4g'(x_0).\]
По формуле \((x^r)' = rx^{r - 1}\), справедливой для любого рационального \(r\) при \(x > 0\), имеем \(g'(x) = \frac{7}{4}x^{\frac{7}{4} - 1} = \frac{7}{4}x^{\frac{3}{4}}\). Значит, \(\varphi'(x) = 4 \cdot \frac{7}{4}x^{\frac{3}{4}} = 7x^{\frac{3}{4}}\).
Тогда \(\varphi'(16) = 7 \cdot 16^{\frac{3}{4}} = 7 \cdot \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 7 \cdot 8 = 56\).
Ответ: 1) \(f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\); 2) \(\varphi'(16) = 56\).
Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции \(f\) в точке с абсциссой \(x_0\), равен производной функции \(f\) в точке \(x_0\): \(k(x_0) = f'(x_0)\). Если касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол \(\alpha\), то её угловой коэффициент равен \(\mathrm{tg}\,\alpha\). Значит, \(f'(x_0) = \mathrm{tg}\,\alpha\).
Касательная в точке с абсциссой \(x_1\) образует с положительным направлением оси абсцисс угол \(30^\circ\), поэтому \(f'(x_1) = \mathrm{tg}\,30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
Касательная в точке с абсциссой \(x_2\) параллельна оси абсцисс, то есть образует с её положительным направлением угол \(0^\circ\), поэтому \(f'(x_2) = \mathrm{tg}\,0^\circ = 0\).
Касательная в точке с абсциссой \(x_3\) образует с положительным направлением оси абсцисс угол \(135^\circ\). По формуле приведения \(\mathrm{tg}\,135^\circ = \mathrm{tg}\,(180^\circ - 45^\circ) = -\mathrm{tg}\,45^\circ = -1\), поэтому \(f'(x_3) = -1\).
Ответ: \(f'(x_1) = \frac{\sqrt{3}}{3}\); \(f'(x_2) = 0\); \(f'(x_3) = -1\).
По формуле \((x^n)' = nx^{n - 1}\), справедливой при натуральном \(n\), имеем \(f'(x) = (x^7)' = 7x^6\).
По геометрическому смыслу производной угловой коэффициент касательной к графику функции \(f\) в точке с абсциссой \(x_0\) равен \(f'(x_0)\), то есть \(7x_0^6 = \frac{7}{64}\). Отсюда \(x_0^6 = \frac{1}{64}\).
Показатель степени чётный, а правая часть положительна, поэтому уравнение имеет два противоположных корня. Так как \(\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}\), то \(x_0 = -\frac{1}{2}\) или \(x_0 = \frac{1}{2}\).
Проверка: \(\left(-\frac{1}{2}\right)^6 = \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}\), поэтому \(f'\left(-\frac{1}{2}\right) = f'\left(\frac{1}{2}\right) = 7 \cdot \frac{1}{64} = \frac{7}{64}\) — угловой коэффициент такой, как в условии.
Ответ: \(-\frac{1}{2}\); \(\frac{1}{2}\).
Дано:
\(s(t) = \frac{1}{t^4}\) — закон движения точки по координатной прямой
Найти: \(s'(2)\) и механический смысл этой величины.
Решение:
При \(t \ne 0\) имеем \(s(t) = t^{-4}\). По формуле \((x^n)' = nx^{n - 1}\), справедливой для любого целого \(n\) при \(x \ne 0\): \[s'(t) = -4t^{-4 - 1} = -4t^{-5} = -\frac{4}{t^5}.\]
Тогда \(s'(2) = -\frac{4}{2^5} = -\frac{4}{32} = -\frac{1}{8}\).
По механическому смыслу производной найденное число — мгновенная скорость точки в момент времени \(t = 2\). Это значение отрицательно, поэтому в данный момент точка движется в направлении, противоположном положительному направлению координатной прямой (её координата убывает).
Ответ: \(s'(2) = -\frac{1}{8}\); это мгновенная скорость точки в момент времени \(t = 2\), и она отрицательна, поэтому точка движется в направлении, противоположном положительному направлению координатной прямой.
