Самостоятельная работа 35 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases}\cos 3x = 0,\\ 1 + \sin 3x \ne 0;\end{cases} \qquad \begin{cases}\cos 3x = 0,\\ \sin 3x \ne -1.\end{cases}\]

Из уравнения \(\cos 3x = 0\) получаем \(3x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). При таких значениях аргумента по формуле приведения \(\sin 3x = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right) = \cos \pi k = (-1)^k\).

При нечётных \(k\) получаем \(\sin 3x = -1\), и условие системы не выполняется; при чётных \(k = 2n\), \(n \in \mathbf{Z}\), получаем \(\sin 3x = 1\), и условие выполняется. Значит, \(3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), откуда \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}\), \(n \in \mathbf{Z}\).

2) По формулам суммы синусов и суммы косинусов \[\sin x + \sin 3x = 2\sin 2x\cos x, \qquad \cos x + \cos 3x = 2\cos 2x\cos x.\]

Сокращать дробь на \(\cos x\) нельзя: такое преобразование расширяет область определения уравнения и приводит к посторонним корням. Перейдём к равносильной системе: \[\begin{cases}\sin 2x\cos x = 0,\\ \cos 2x\cos x \ne 0.\end{cases}\]

Из условия \(\cos 2x\cos x \ne 0\) следует, что \(\cos x \ne 0\), поэтому из первого уравнения системы \(\sin 2x = 0\). Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\) и \(\cos x \ne 0\), то \(\sin x = 0\) и \(x = \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Эти числа условию системы удовлетворяют: \(\cos \pi n = (-1)^n \ne 0\) и \(\cos 2\pi n = 1 \ne 0\).

Числа вида \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\), корнями не являются: при них \(\cos x = 0\), поэтому и числитель \(2\sin 2x\cos x\), и знаменатель \(2\cos 2x\cos x\) данной дроби обращаются в нуль, то есть значение левой части не определено.

3) Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а оба множителя при этом определены. Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases}\left[\begin{array}{l}\cos x = 0,\\ \sin x - \frac{1}{2} = 0,\end{array}\right.\\ \sin x - \frac{1}{2} \geqslant 0.\end{cases}\]

Из уравнения \(\cos x = 0\) получаем \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); при таких значениях \(\sin x = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right) = (-1)^k\). Условию \(\sin x \geqslant \frac{1}{2}\) отвечают только чётные \(k = 2n\), \(n \in \mathbf{Z}\): тогда \(\sin x = 1\). Значит, из этой серии остаются числа \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Из уравнения \(\sin x = \frac{1}{2}\) получаем \(x = (-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); для этих чисел \(\sin x - \frac{1}{2} = 0\), и условие системы выполняется.

4) Область определения данного уравнения задают условия \(x + \frac{\pi}{4} \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\) и \(x \ne \pi n\), то есть \(x \ne \frac{\pi}{4} + \pi n\), \(x \ne \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Числа вида \(\frac{\pi}{2} + \pi n\) в область определения входят.

Формулы \(\mathrm{tg}\,(\alpha + \beta) = \frac{\mathrm{tg}\,\alpha + \mathrm{tg}\,\beta}{1 - \mathrm{tg}\,\alpha\,\mathrm{tg}\,\beta}\) и \(\mathrm{ctg}\,x = \frac{1}{\mathrm{tg}\,x}\) сужают область определения уравнения на множество чисел вида \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\), а сужение области определения — угроза потери корней. Проверим эти числа подстановкой в данное уравнение.

При \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\) имеем \(\mathrm{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \mathrm{tg}\left(\frac{3\pi}{4} + \pi n\right) = \mathrm{tg}\,\frac{3\pi}{4} = -1\), поэтому левая часть равна \(3 \cdot (-1) = -3\); кроме того, \(\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = 0\), поэтому правая часть равна \(4 \cdot 0 - 3 = -3\). Равенство верно, и все такие числа — корни уравнения.

Поэтому данное уравнение равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbf{Z}, \\[2mm] \dfrac{3\,(\mathrm{tg}\,x + 1)}{1 - \mathrm{tg}\,x} = \dfrac{4}{\mathrm{tg}\,x} - 3. \end{array}\right.\]

Обозначим \(\mathrm{tg}\,x = t\); в области определения \(t \ne 0\) и \(t \ne 1\). Умножив обе части второго уравнения совокупности на отличное от нуля выражение \(t\,(1 - t)\), получаем равносильное уравнение \(3t\,(t + 1) = (4 - 3t)(1 - t)\); \(3t^2 + 3t = 4 - 7t + 3t^2\); \(10t = 4\); \(t = \frac{2}{5}\).

Значит, \(\mathrm{tg}\,x = \frac{2}{5}\) и \(x = \mathrm{arctg}\,\frac{2}{5} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Проверка: при \(\mathrm{tg}\,x = \frac{2}{5}\) получаем \(\mathrm{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{2}{5} + 1}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{7}{3}\), и левая часть равна \(3 \cdot \frac{7}{3} = 7\); правая часть равна \(4 \cdot \frac{5}{2} - 3 = 7\).

Ответ: 1) \(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}\), \(n \in \mathbf{Z}\); 2) \(\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 3) \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\); \((-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 4) \(\frac{\pi}{2} + \pi n\); \(\mathrm{arctg}\,\frac{2}{5} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).