Самостоятельная работа 40 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) По теореме о производной суммы и следствиям из теоремы о производной произведения получаем: \[\begin{aligned} &y' = \left(5x^{10} + 4x^8 - 2x^3 + 7\right)' = 5\left(x^{10}\right)' + 4\left(x^8\right)' - 2\left(x^3\right)' + (7)' = {} \\ &= 5 \cdot 10x^9 + 4 \cdot 8x^7 - 2 \cdot 3x^2 = 50x^9 + 32x^7 - 6x^2. \end{aligned}\]

2) Функция определена при \(\cos x \ne 0\). По теореме о производной разности имеем: \[y' = \left(\cos x - \mathrm{tg}\,x\right)' = (\cos x)' - \left(\mathrm{tg}\,x\right)' = -\sin x - \frac{1}{\cos^2 x}.\]

3) Формула \(\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) верна при \(x > 0\). По теореме о производной произведения получаем: \[y' = \left(\sqrt{x}\right)'(5x - 1) + (5x - 1)'\sqrt{x} = \frac{5x - 1}{2\sqrt{x}} + 5\sqrt{x}.\] Приведём слагаемые к общему знаменателю: \(5\sqrt{x} = \dfrac{5\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \dfrac{10x}{2\sqrt{x}}\). Тогда \[y' = \frac{5x - 1}{2\sqrt{x}} + \frac{10x}{2\sqrt{x}} = \frac{15x - 1}{2\sqrt{x}}.\]

4) Функция определена при \(x > 0\). По теореме о производной частного получаем: \[\begin{aligned} &y' = \frac{(x + 4)'\sqrt{x} - \left(\sqrt{x}\right)'(x + 4)}{\left(\sqrt{x}\right)^2} = \frac{\sqrt{x} - \dfrac{x + 4}{2\sqrt{x}}}{x} = {} \\ &= \frac{\dfrac{2x - (x + 4)}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{x - 4}{2x\sqrt{x}}. \end{aligned}\]

5) Данная функция является сложной функцией \(y = f(g(x))\), где \(f(t) = \sqrt[3]{t}\), \(g(x) = 3x^3 + 2x\); при этом \(f'(t) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{t^2}}\) и \(t \ne 0\). По теореме о производной сложной функции получаем: \[y' = \left(\sqrt[3]{3x^3 + 2x}\right)' = \frac{1}{3\sqrt[3]{\left(3x^3 + 2x\right)^2}} \cdot \left(3x^3 + 2x\right)' = \frac{9x^2 + 2}{3\sqrt[3]{\left(3x^3 + 2x\right)^2}}.\] Так как \(3x^3 + 2x = x\left(3x^2 + 2\right)\), а второй множитель положителен при всех \(x\), найденное равенство верно при \(x \ne 0\); в точке \(0\) производной нет.

6) Функция определена при \(x \ne 0\). По теореме о производной сложной функции \(\left(\cos\dfrac{3}{x}\right)' = -\sin\dfrac{3}{x} \cdot \left(\dfrac{3}{x}\right)' = -\sin\dfrac{3}{x} \cdot \left(-\dfrac{3}{x^2}\right) = \dfrac{3}{x^2}\sin\dfrac{3}{x}\). Теперь по теореме о производной произведения: \[\begin{aligned} &y' = \left(x^3\right)'\cos\frac{3}{x} + \left(\cos\frac{3}{x}\right)'x^3 = 3x^2\cos\frac{3}{x} + \frac{3x^3}{x^2}\sin\frac{3}{x} = {} \\ &= 3x^2\cos\frac{3}{x} + 3x\sin\frac{3}{x}. \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(y' = 50x^9 + 32x^7 - 6x^2\); 2) \(y' = -\sin x - \dfrac{1}{\cos^2 x}\) при \(\cos x \ne 0\); 3) \(y' = \dfrac{15x - 1}{2\sqrt{x}}\) при \(x > 0\); 4) \(y' = \dfrac{x - 4}{2x\sqrt{x}}\) при \(x > 0\); 5) \(y' = \dfrac{9x^2 + 2}{3\sqrt[3]{\left(3x^3 + 2x\right)^2}}\) при \(x \ne 0\); 6) \(y' = 3x^2\cos\dfrac{3}{x} + 3x\sin\dfrac{3}{x}\) при \(x \ne 0\).

Производная функции в точке равна пределу отношения \(\dfrac{\Delta f}{\Delta x}\) при \(\Delta x \to 0\), поэтому она определяется значениями функции в интервале, содержащем эту точку. Значит, достаточно раскрыть модуль на таком интервале.

Разложим на множители подмодульное выражение: \(x^2 - 6x = x(x - 6)\). Оно обращается в нуль при \(x = 0\) и при \(x = 6\).

Точка \(x_1 = -1\) принадлежит интервалу \((-\infty;\ 0)\). Для всех \(x < 0\) оба множителя отрицательны, поэтому \(x(x - 6) > 0\) и на этом интервале \(f(x) = x^2 - 6x\). Тогда \(f'(x) = 2x - 6\) и \(f'(-1) = 2 \cdot (-1) - 6 = -8\).

Точка \(x_2 = 4\) принадлежит интервалу \((0;\ 6)\). Для всех \(x\) из этого интервала первый множитель положителен, а второй отрицателен, поэтому \(x(x - 6) < 0\) и на нём \(f(x) = -\left(x^2 - 6x\right) = 6x - x^2\). Тогда \(f'(x) = 6 - 2x\) и \(f'(4) = 6 - 2 \cdot 4 = -2\).

Ответ: \(f'(-1) = -8\); \(f'(4) = -2\).