Самостоятельная работа 37 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
а) Функция определена в точке \(x_0\): на кривой при \(x = x_0\) стоит закрашенный кружок, его ордината и есть \(f(x_0)\).
Предел существует: кривая проходит через эту точку без разрыва, и слева, и справа значения функции стремятся к числу \(f(x_0)\). Значит, \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\).
Предел равен значению функции в точке \(x_0\), поэтому функция непрерывна в этой точке.
б) Функция в точке \(x_0\) не определена: на кривой при \(x = x_0\) стоит выколотый кружок, а других точек с этой абсциссой у графика нет.
Предел существует: кривая подходит к выколотому кружку и слева, и справа, и значения функции стремятся к числу \(a\). Значит, \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a\).
Значения \(f(x_0)\) нет, поэтому сравнивать предел не с чем; непрерывной в точке \(x_0\) функция не является.
в) Функция определена в точке \(x_0\): на вертикальной штриховой прямой \(x = x_0\) стоит закрашенный кружок, его ордината \(f(x_0)\) положительна.
Предела не существует: слева от \(x_0\) значения функции неограниченно убывают, справа — неограниченно возрастают, и числа, к которому они стремятся, нет.
Третий вопрос не рассматривается: предела в точке \(x_0\) нет.
Ответ: а) функция определена в точке \(x_0\); предел существует, \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\); предел равен значению функции в точке \(x_0\). б) функция в точке \(x_0\) не определена; предел существует, \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a\); значения \(f(x_0)\) нет, поэтому сравнивать предел не с чем. в) функция определена в точке \(x_0\); предел в точке \(x_0\) не существует; третий вопрос не рассматривается.
При \(x < 3\) график функции \(f\) — часть прямой \(y = 7 - 2x\), при \(x \geqslant 3\) — часть параболы \(y = x^2 - 8\).
\(f(3) = 3^2 - 8 = 1\) — по второй формуле. При \(x < 3\) значения выражения \(7 - 2x\) с приближением аргумента к \(3\) стремятся к \(7 - 2 \cdot 3 = 1\), поэтому конец луча и начало параболы — одна и та же точка \((3;\ 1)\), график не разорван.
И слева, и справа от \(3\) значения функции стремятся к \(1\), поэтому \(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 1\).
Так как \(f(3) = 1\), то \(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = f(3)\), а значит, функция \(f\) непрерывна в точке \(x_0 = 3\); излом графика в точке \((3;\ 1)\) непрерывности не мешает.
Ответ: функция \(f\) непрерывна в точке \(x_0 = 3\).
1) Функция \(y = \mathrm{tg}\,2x\) непрерывна и определена в точке \(-\frac{\pi}{6}\), так как \(\cos\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \ne 0\), поэтому её предел равен значению в этой точке: \[\lim\limits_{x \to -\frac{\pi}{6}} \mathrm{tg}\,2x = \mathrm{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\mathrm{tg}\,\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}.\]
2) Знаменатель \(6x - \sqrt{x} = \sqrt{x}\left(6\sqrt{x} - 1\right)\) обращается в нуль при \(x = 0\) и при \(x = \frac{1}{36}\), поэтому функция определена при \(x > 0\), \(x \ne \frac{1}{36}\); в любом интервале, содержащем точку \(0\), есть точки её области определения, отличные от \(0\), — о пределе в точке \(0\) говорить можно.
Предел знаменателя в точке \(0\) равен нулю, поэтому теорему о пределе частного применить нельзя.
Числитель \(7\sqrt{x} - 3\) стремится к числу \(-3\). Множитель \(\sqrt{x}\) стремится к нулю, оставаясь положительным, а множитель \(6\sqrt{x} - 1\) стремится к числу \(-1\), поэтому знаменатель \(\sqrt{x}\left(6\sqrt{x} - 1\right)\) стремится к нулю, оставаясь отрицательным. Значит, значения дроби положительны и неограниченно увеличиваются, а числа, к которому они стремятся, нет: предела в точке \(0\) данная функция не имеет.
3) \(x^2 + 2x - 15 = (x - 3)(x + 5)\) (корни \(3\) и \(-5\)), \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\); и числитель, и знаменатель обращаются в нуль при \(x = 3\), поэтому дробь сокращаем на \(x - 3\), а функция \(y = \frac{x + 5}{x + 3}\) в точке \(3\) непрерывна: \[\lim\limits_{x \to 3} \frac{x^2 + 2x - 15}{x^2 - 9} = \lim\limits_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 5)}{(x - 3)(x + 3)} = \lim\limits_{x \to 3} \frac{x + 5}{x + 3} = \frac{3 + 5}{3 + 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.\]
Ответ: 1) \(-\sqrt{3}\); 2) предела не существует; 3) \(\frac{4}{3}\).
а) В точке с абсциссой \(x_0\) на кривой стоит закрашенный кружок, поэтому функция в точке \(x_0\) определена и её значение равно \(f(x_0)\). Кривая проходит через эту точку без разрыва: если значения аргумента стремятся к \(x_0\), оставаясь меньшими \(x_0\), то соответствующие значения функции стремятся к числу \(f(x_0)\); если значения аргумента стремятся к \(x_0\), оставаясь бо́льшими \(x_0\), то значения функции стремятся к тому же числу \(f(x_0)\). Значит, предел функции в точке \(x_0\) существует и \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\). Предел равен значению функции в точке \(x_0\), поэтому эта функция непрерывна в точке \(x_0\).
б) В точке с абсциссой \(x_0\) на кривой стоит выколотый кружок, и других точек с этой абсциссой у графика нет, поэтому функция в точке \(x_0\) не определена. Кривая подходит к выколотому кружку и слева, и справа: и в том, и в другом случае значения функции стремятся к числу \(a\). Значит, предел функции в точке \(x_0\) существует и \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a\). Функция в точке \(x_0\) не определена, значения \(f(x_0)\) нет, поэтому сравнивать предел не с чем; непрерывной в точке \(x_0\) функция не является.
в) На вертикальной штриховой прямой \(x = x_0\) стоит закрашенный кружок, поэтому функция в точке \(x_0\) определена и её значение \(f(x_0)\) положительно. Если значения аргумента стремятся к \(x_0\), оставаясь меньшими \(x_0\), то соответствующие значения функции становятся всё меньшими и меньшими и неограниченно убывают; если значения аргумента стремятся к \(x_0\), оставаясь бо́льшими \(x_0\), то значения функции становятся всё бо́льшими и бо́льшими и неограниченно возрастают. Значит, не существует числа, к которому стремятся значения функции: предел в точке \(x_0\) не существует, поэтому третий вопрос не рассматривается.
Ответ: а) функция определена в точке \(x_0\); предел существует, \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\); предел равен значению функции в точке \(x_0\). б) функция в точке \(x_0\) не определена; предел существует, \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a\); значения \(f(x_0)\) нет, поэтому сравнивать предел не с чем. в) функция определена в точке \(x_0\); предел в точке \(x_0\) не существует; третий вопрос не рассматривается.
При \(x < 3\) график функции \(f\) — часть прямой \(y = 7 - 2x\), при \(x \geqslant 3\) — часть параболы \(y = x^2 - 8\). Значение функции в точке \(x_0 = 3\) задаёт вторая формула: \(f(3) = 3^2 - 8 = 1\). Построим график функции \(f\).
Если значения аргумента стремятся к числу \(3\), оставаясь меньшими \(3\), то значения функции равны \(7 - 2x\) и стремятся к числу \(7 - 2 \cdot 3 = 1\). Если значения аргумента стремятся к числу \(3\), оставаясь бо́льшими \(3\), то значения функции равны \(x^2 - 8\) и стремятся к числу \(3^2 - 8 = 1\). Обе части графика подходят к одной и той же точке \((3;\ 1)\), разрыва у графика нет.
Значит, предел функции \(f\) в точке \(x_0 = 3\) существует и \(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 1\).
Так как \(f(3) = 1\), то выполняется равенство \(\lim\limits_{x \to 3} f(x) = f(3)\), а это и означает, по определению непрерывности функции в точке, что функция \(f\) непрерывна в точке \(x_0 = 3\). Излом графика в точке \((3;\ 1)\) непрерывности не мешает.
Ответ: функция \(f\) непрерывна в точке \(x_0 = 3\).
1) Функция \(y = \mathrm{tg}\,2x\) определена в точке \(-\frac{\pi}{6}\), так как \(\cos\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \ne 0\), и является непрерывной. Поэтому её предел в этой точке равен значению функции в этой точке: \[\lim\limits_{x \to -\frac{\pi}{6}} \mathrm{tg}\,2x = \mathrm{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\mathrm{tg}\,\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}.\]
2) Выражение \(\frac{7\sqrt{x} - 3}{6x - \sqrt{x}}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\) и \(6x - \sqrt{x} \ne 0\). Так как \(6x - \sqrt{x} = \sqrt{x}\left(6\sqrt{x} - 1\right)\), знаменатель обращается в нуль при \(x = 0\) и при \(\sqrt{x} = \frac{1}{6}\), то есть при \(x = \frac{1}{36}\). Значит, функция определена при \(x > 0\), \(x \ne \frac{1}{36}\). В любом интервале, содержащем точку \(0\), есть точки её области определения, отличные от \(0\), поэтому о пределе этой функции в точке \(0\) говорить можно.
Предел знаменателя в точке \(0\) равен нулю, поэтому теорему о пределе частного применить нельзя.
Если значения аргумента стремятся к нулю, то значения числителя \(7\sqrt{x} - 3\) стремятся к числу \(-3\). Значения множителя \(\sqrt{x}\) при этом стремятся к нулю, оставаясь положительными, а значения множителя \(6\sqrt{x} - 1\) стремятся к числу \(-1\), поэтому значения знаменателя \(\sqrt{x}\left(6\sqrt{x} - 1\right)\) стремятся к нулю, оставаясь отрицательными. Значит, значения дроби положительны и становятся всё бо́льшими и бо́льшими, неограниченно увеличиваясь. Поэтому не существует числа, к которому стремятся значения функции при условии, что значения аргумента стремятся к \(0\), то есть предела в точке \(0\) данная функция не имеет.
3) Корни квадратного трёхчлена \(x^2 + 2x - 15\) равны \(3\) и \(-5\), поэтому \(x^2 + 2x - 15 = (x - 3)(x + 5)\); кроме того, \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\). И числитель, и знаменатель обращаются в нуль при \(x = 3\), поэтому теорему о пределе частного применить нельзя; сократим дробь на \(x - 3\): \[\lim\limits_{x \to 3} \frac{x^2 + 2x - 15}{x^2 - 9} = \lim\limits_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 5)}{(x - 3)(x + 3)} = \lim\limits_{x \to 3} \frac{x + 5}{x + 3}.\]
Рациональная функция \(y = \frac{x + 5}{x + 3}\) определена в точке \(3\) и является непрерывной, поэтому её предел в этой точке равен её значению в этой точке: \(\lim\limits_{x \to 3} \frac{x + 5}{x + 3} = \frac{3 + 5}{3 + 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\).
Ответ: 1) \(-\sqrt{3}\); 2) предела не существует; 3) \(\frac{4}{3}\).
