Самостоятельная работа 40 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) По теореме о производной суммы и следствиям из теоремы о производной произведения получаем: \[\begin{aligned} &y' = \left(8x^9 - 3x^5 + 6x^3 - 2\right)' = 8\left(x^9\right)' - 3\left(x^5\right)' + 6\left(x^3\right)' - (2)' = {} \\ &= 8 \cdot 9x^8 - 3 \cdot 5x^4 + 6 \cdot 3x^2 = 72x^8 - 15x^4 + 18x^2. \end{aligned}\]

2) Функция определена при \(\sin x \ne 0\). По теореме о производной разности имеем: \[\begin{aligned} &y' = \left(\sin x - \mathrm{ctg}\,x\right)' = (\sin x)' - \left(\mathrm{ctg}\,x\right)' = {} \\ &= \cos x - \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = \cos x + \frac{1}{\sin^2 x}. \end{aligned}\]

3) Формула \(\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) верна при \(x > 0\). По теореме о производной произведения получаем: \[y' = \left(\sqrt{x}\right)'\left(2x^2 + 4\right) + \left(2x^2 + 4\right)'\sqrt{x} = \frac{2x^2 + 4}{2\sqrt{x}} + 4x\sqrt{x}.\] Приведём слагаемые к общему знаменателю: \(4x\sqrt{x} = \dfrac{4x\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \dfrac{8x^2}{2\sqrt{x}}\). Тогда \[y' = \frac{2x^2 + 4}{2\sqrt{x}} + \frac{8x^2}{2\sqrt{x}} = \frac{10x^2 + 4}{2\sqrt{x}} = \frac{5x^2 + 2}{\sqrt{x}}.\]

4) Функция определена при \(x > 0\). По теореме о производной частного получаем: \[\begin{aligned} &y' = \frac{(x - 3)'\sqrt{x} - \left(\sqrt{x}\right)'(x - 3)}{\left(\sqrt{x}\right)^2} = \frac{\sqrt{x} - \dfrac{x - 3}{2\sqrt{x}}}{x} = {} \\ &= \frac{\dfrac{2x - (x - 3)}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{x + 3}{2x\sqrt{x}}. \end{aligned}\]

5) Данная функция является сложной функцией \(y = f(g(x))\), где \(f(t) = \sqrt[3]{t}\), \(g(x) = x^3 - 9x\); при этом \(f'(t) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{t^2}}\) и \(t \ne 0\). По теореме о производной сложной функции получаем: \[\begin{aligned} &y' = \left(\sqrt[3]{x^3 - 9x}\right)' = \frac{1}{3\sqrt[3]{\left(x^3 - 9x\right)^2}} \cdot \left(x^3 - 9x\right)' = {} \\ &= \frac{3x^2 - 9}{3\sqrt[3]{\left(x^3 - 9x\right)^2}} = \frac{x^2 - 3}{\sqrt[3]{\left(x^3 - 9x\right)^2}}. \end{aligned}\] Так как \(x^3 - 9x = x(x - 3)(x + 3)\), найденное равенство верно при \(x \ne 0\), \(x \ne 3\) и \(x \ne -3\); в этих трёх точках производной нет.

6) Функция определена при \(x \ne 0\). По теореме о производной сложной функции \(\left(\sin\dfrac{1}{x}\right)' = \cos\dfrac{1}{x} \cdot \left(\dfrac{1}{x}\right)' = \cos\dfrac{1}{x} \cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\). Теперь по теореме о производной произведения: \[\begin{aligned} &y' = \left(x^3\right)'\sin\frac{1}{x} + \left(\sin\frac{1}{x}\right)'x^3 = 3x^2\sin\frac{1}{x} - \frac{x^3}{x^2}\cos\frac{1}{x} = {} \\ &= 3x^2\sin\frac{1}{x} - x\cos\frac{1}{x}. \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(y' = 72x^8 - 15x^4 + 18x^2\); 2) \(y' = \cos x + \dfrac{1}{\sin^2 x}\) при \(\sin x \ne 0\); 3) \(y' = \dfrac{5x^2 + 2}{\sqrt{x}}\) при \(x > 0\); 4) \(y' = \dfrac{x + 3}{2x\sqrt{x}}\) при \(x > 0\); 5) \(y' = \dfrac{x^2 - 3}{\sqrt[3]{\left(x^3 - 9x\right)^2}}\) при \(x \ne 0\), \(x \ne 3\), \(x \ne -3\); 6) \(y' = 3x^2\sin\dfrac{1}{x} - x\cos\dfrac{1}{x}\) при \(x \ne 0\).

Производная функции в точке равна пределу отношения \(\dfrac{\Delta f}{\Delta x}\) при \(\Delta x \to 0\), поэтому она определяется значениями функции в интервале, содержащем эту точку. Значит, достаточно раскрыть модуль на таком интервале.

Разложим на множители подмодульное выражение: \(x^2 - 5x = x(x - 5)\). Оно обращается в нуль при \(x = 0\) и при \(x = 5\).

Точка \(x_1 = -1\) принадлежит интервалу \((-\infty;\ 0)\). Для всех \(x < 0\) оба множителя отрицательны, поэтому \(x(x - 5) > 0\) и на этом интервале \(f(x) = x^2 - 5x\). Тогда \(f'(x) = 2x - 5\) и \(f'(-1) = 2 \cdot (-1) - 5 = -7\).

Точка \(x_2 = 3\) принадлежит интервалу \((0;\ 5)\). Для всех \(x\) из этого интервала первый множитель положителен, а второй отрицателен, поэтому \(x(x - 5) < 0\) и на нём \(f(x) = -\left(x^2 - 5x\right) = 5x - x^2\). Тогда \(f'(x) = 5 - 2x\) и \(f'(3) = 5 - 2 \cdot 3 = -1\).

Ответ: \(f'(-1) = -7\); \(f'(3) = -1\).