Самостоятельная работа 34 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) По формуле разности косинусов \(\cos 9x - \cos 5x = -2\sin\frac{9x + 5x}{2}\sin\frac{9x - 5x}{2} = -2\sin 7x\sin 2x\). Данное уравнение принимает вид \[-2\sin 7x\sin 2x = \sqrt{3}\sin 2x;\quad -\sin 2x\left(2\sin 7x + \sqrt{3}\right) = 0;\quad \sin 2x\left(2\sin 7x + \sqrt{3}\right) = 0.\]

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, поэтому получаем совокупность \[\left[\begin{array}{l} \sin 2x = 0, \\ \sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{array}\right.\]

Из первого уравнения \(2x = \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); \(x = \frac{\pi n}{2}\). Из второго \(7x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(7x = (-1)^k \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi k\); \(7x = (-1)^{k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi k\); \(x = (-1)^{k+1} \cdot \frac{\pi}{21} + \frac{\pi k}{7}\).

2) По формуле произведения синусов \(\sin 5x\sin x = \frac{1}{2}\left(\cos 4x - \cos 6x\right)\). Данное уравнение принимает вид \[\frac{1}{2}\cos 4x - \frac{1}{2}\cos 6x = \cos 4x;\quad \cos 6x + \cos 4x = 0.\]

По формуле суммы косинусов \(\cos 6x + \cos 4x = 2\cos 5x\cos x\), поэтому \(2\cos 5x\cos x = 0\) и \[\left[\begin{array}{l} \cos 5x = 0, \\ \cos x = 0. \end{array}\right.\]

Из первого уравнения \(5x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); \(x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}\). Из второго \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).

Вторая серия целиком содержится в первой: \(\frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5} = \frac{\pi (1 + 2n)}{10}\), и при \(n = 2 + 5k\) получаем \(\frac{\pi (5 + 10k)}{10} = \frac{\pi}{2} + \pi k\). Поэтому в ответ достаточно записать первую серию.

3) По формулам понижения степени \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\) и \(\cos^2 5x = \frac{1 + \cos 10x}{2}\). Данное уравнение принимает вид \[\frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 10x}{2} = 1;\quad 2 + \cos 2x + \cos 10x = 2;\quad \cos 10x + \cos 2x = 0.\]

По формуле суммы косинусов \(\cos 10x + \cos 2x = 2\cos 6x\cos 4x\), поэтому \(2\cos 6x\cos 4x = 0\) и \[\left[\begin{array}{l} \cos 6x = 0, \\ \cos 4x = 0. \end{array}\right.\]

Из первого уравнения \(6x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); \(x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}\). Из второго \(4x = \frac{\pi}{2} + \pi n\); \(x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}\).

Ни одна из этих серий не содержится в другой: первая состоит из нечётных кратных числа \(\frac{\pi}{12}\), вторая — из нечётных кратных числа \(\frac{\pi}{8}\). Число \(\frac{\pi}{12}\) во вторую серию не входит, потому что равенство \(\frac{\pi}{12} = \frac{m\pi}{8}\) дало бы \(m = \frac{2}{3}\), а число \(\frac{\pi}{8}\) не входит в первую, потому что равенство \(\frac{\pi}{8} = \frac{m\pi}{12}\) дало бы \(m = \frac{3}{2}\). Значит, в ответ идут обе серии.

4) По формуле приведения \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right) = \sin 4x\), поэтому данное уравнение принимает вид \(\sin 12x = 2\sin 4x\). По формуле синуса тройного аргумента (для аргумента \(4x\)) \(\sin 12x = 3\sin 4x - 4\sin^3 4x\). Тогда \[3\sin 4x - 4\sin^3 4x = 2\sin 4x;\quad \sin 4x - 4\sin^3 4x = 0;\quad \sin 4x\left(1 - 4\sin^2 4x\right) = 0.\]

Получаем совокупность \[\left[\begin{array}{l} \sin 4x = 0, \\ \sin^2 4x = \frac{1}{4}. \end{array}\right.\]

Из первого уравнения \(4x = \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); \(x = \frac{\pi n}{4}\). Второе уравнение по формуле понижения степени \(\sin^2 4x = \frac{1 - \cos 8x}{2}\) даёт \(\frac{1 - \cos 8x}{2} = \frac{1}{4}\); \(\cos 8x = \frac{1}{2}\); \(8x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n\); \(x = \pm\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}\).

5) При любом значении \(x\) выполняются неравенства \(\cos\frac{3x}{2} \leqslant 1\) и \(\cos x \leqslant 1\), поэтому сумма в левой части равна \(2\) только тогда, когда каждое слагаемое равно \(1\). Следовательно, данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \cos\frac{3x}{2} = 1, \\ \cos x = 1. \end{cases}\]

Из первого уравнения системы \(\frac{3x}{2} = 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); \(x = \frac{4\pi n}{3}\). Из второго \(x = 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).

Корнями уравнения служат общие числа этих двух серий. Равенство \(\frac{4\pi n}{3} = 2\pi k\) равносильно равенству \(2n = 3k\), а из него следует, что число \(n\) делится на \(3\) (числа \(2\) и \(3\) взаимно просты). Положив \(n = 3m\), \(m \in \mathbf{Z}\), получаем \(k = 2m\) и \(x = \frac{4\pi \cdot 3m}{3} = 4\pi m\).

Проверка: при \(x = 4\pi m\) оба уравнения системы выполняются: \(\cos\frac{3 \cdot 4\pi m}{2} = \cos 6\pi m = 1\) и \(\cos 4\pi m = 1\).

Ответ: 1) \(\frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\); \((-1)^{k+1} \cdot \frac{\pi}{21} + \frac{\pi k}{7}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 2) \(\frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}\), \(n \in \mathbf{Z}\); 3) \(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}\); \(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}\), \(n \in \mathbf{Z}\); 4) \(\frac{\pi n}{4}\); \(\pm\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}\), \(n \in \mathbf{Z}\); 5) \(4\pi m\), \(m \in \mathbf{Z}\).