Самостоятельная работа 30 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Из равенства \(2\sin\left(4x + \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2} = 0\) получаем \(\sin\left(4x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Имеем: \(4x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(4x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{4} + \pi k\); \(4x = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi k\); \(x = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}\).

2) Из равенства \(\sqrt{3} + 2\sin(8 - 3x) = 0\) получаем \(\sin(8 - 3x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Синус — нечётная функция, поэтому перепишем данное уравнение в виде \(-\sin(3x - 8) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Тогда \(\sin(3x - 8) = \frac{\sqrt{3}}{2}\); \(3x - 8 = (-1)^k \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(3x - 8 = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{3} + \pi k\); \(3x = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{3} + 8 + \pi k\); \(x = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{9} + \frac{8}{3} + \frac{\pi k}{3}\).

3) Модуль правой части меньше единицы: \(\frac{\pi}{8} < 1\), так как \(\pi < 8\). Значит, уравнение имеет корни. Имеем: \(7x - 2 = (-1)^k \arcsin\frac{\pi}{8} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). Значение \(\arcsin\frac{\pi}{8}\) не табличное, поэтому оставляем его под знаком арксинуса: \(7x = (-1)^k \arcsin\frac{\pi}{8} + 2 + \pi k\); \(x = (-1)^k \cdot \frac{1}{7}\arcsin\frac{\pi}{8} + \frac{2}{7} + \frac{\pi k}{7}\).

4) Разделим обе части уравнения на \(2\): \(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{2}\). Так как \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}\), а \(\frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3}\), то можно записать: \(\sin\frac{\pi}{3}\cos x - \cos\frac{\pi}{3}\sin x = \frac{1}{2}\). Используя формулу синуса разности \(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha - \beta)\), получим \(\sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \frac{1}{2}\).

Синус — нечётная функция, поэтому перепишем последнее уравнение в виде \(-\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\). Тогда \(\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\); \(x - \frac{\pi}{3} = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(x - \frac{\pi}{3} = (-1)^k \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k\); \(x - \frac{\pi}{3} = (-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k\); \(x = (-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \pi k\).

Ответ: 1) \((-1)^k \cdot \frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 2) \((-1)^k \cdot \frac{\pi}{9} + \frac{8}{3} + \frac{\pi k}{3}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 3) \((-1)^k \cdot \frac{1}{7}\arcsin\frac{\pi}{8} + \frac{2}{7} + \frac{\pi k}{7}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 4) \((-1)^{k + 1} \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).

Из равенства \(4\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - 1 = 0\) получаем \(\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{4}\). Имеем: \(2x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin\frac{1}{4} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(2x = (-1)^k \arcsin\frac{1}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi k\); \(x = (-1)^k \cdot \frac{1}{2}\arcsin\frac{1}{4} - \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\).

Значение \(\arcsin\frac{1}{4}\) не табличное, поэтому оценим его. Число \(\arcsin\frac{1}{4}\) принадлежит промежутку \(\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\), а на этом промежутке функция \(y = \sin x\) возрастает. Из неравенств \(\sin 0 = 0 < \frac{1}{4} < \frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}\) получаем \(0 < \arcsin\frac{1}{4} < \frac{\pi}{6}\), откуда \(0 < \frac{1}{2}\arcsin\frac{1}{4} < \frac{\pi}{12}\).

С ростом \(k\) корни возрастают: разность соседних корней равна \(\frac{\pi}{2} - \arcsin\frac{1}{4}\) или \(\frac{\pi}{2} + \arcsin\frac{1}{4}\), и обе эти разности положительны, поскольку \(\arcsin\frac{1}{4} < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}\). Поэтому наименьшему положительному корню отвечает наименьшее целое \(k\), при котором корень положителен.

При \(k = 0\) получаем \(x = \frac{1}{2}\arcsin\frac{1}{4} - \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{8} < 0\) — корень отрицателен, а вместе с ним отрицательны и все корни при \(k < 0\).

При \(k = 1\) получаем \(x = -\frac{1}{2}\arcsin\frac{1}{4} - \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{8} - \frac{1}{2}\arcsin\frac{1}{4}\), и этот корень положителен, так как \(\frac{1}{2}\arcsin\frac{1}{4} < \frac{\pi}{12} < \frac{3\pi}{8}\).

Ответ: \(\frac{3\pi}{8} - \frac{1}{2}\arcsin\frac{1}{4}\).

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, данное уравнение равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} \cos x = 0, \\ \sin x = a. \end{array}\right.\]

Корни первого уравнения совокупности задаются формулой \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Промежутку \(\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\) принадлежат два из них: \(-\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{\pi}{2}\) (концы промежутка включены).

На промежутке \(\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\) функция \(y = \sin x\) возрастает от \(-1\) до \(1\), поэтому каждое значение из промежутка \([-1;\ 1]\) она принимает ровно один раз. Значит, при \(|a| \leqslant 1\) второе уравнение совокупности имеет на данном промежутке ровно один корень, а при \(|a| > 1\) — ни одного. Изобразим график функции \(y = \sin x\) на этом промежутке и прямые \(y = a\) в характерных положениях.

При \(a = 1\) корень второго уравнения равен \(\frac{\pi}{2}\), а при \(a = -1\) он равен \(-\frac{\pi}{2}\), то есть в обоих случаях совпадает с корнем первого уравнения и нового корня не даёт. При \(-1 < a < 1\) корень второго уравнения лежит внутри промежутка, поэтому с числами \(-\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{\pi}{2}\) он не совпадает и добавляется к ним третьим.

Ответ: если \(a \leqslant -1\) или \(a \geqslant 1\), то два корня; если \(-1 < a < 1\), то три корня.