Самостоятельная работа 36 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Пусть \(3x = t\). Так как \(\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}\), решим неравенство \(\sin t < \frac{\sqrt{2}}{2}\) на промежутке \(\left[\frac{\pi}{4};\ \frac{\pi}{4} + 2\pi\right]\), то есть на промежутке \(\left[\frac{\pi}{4};\ \frac{9\pi}{4}\right]\) длиной в период функции \(y = \sin t\).

На этом промежутке график функции \(y = \sin t\) расположен ниже графика функции \(y = \frac{\sqrt{2}}{2}\) при \(t \in \left(\frac{3\pi}{4};\ \frac{9\pi}{4}\right)\); оба конца выколоты, поскольку неравенство строгое.

С учётом периодичности множеством решений неравенства \(\sin t < \frac{\sqrt{2}}{2}\) является объединение всех промежутков вида \(\left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi n;\ \frac{9\pi}{4} + 2\pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Вернёмся к переменной \(x\): \(\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < 3x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi n\), откуда \(\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}\). Найденные промежутки повторяются через \(\frac{2\pi}{3}\) — период функции \(y = \sin 3x\).

2) Пусть \(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{3} = t\). Решим неравенство \(\mathrm{tg}\,t \geqslant \frac{\sqrt{3}}{3}\) на промежутке \(\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)\) длиной в период функции \(y = \mathrm{tg}\,t\).

Так как \(\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6}\), то на рассматриваемом промежутке график функции \(y = \mathrm{tg}\,t\) расположен не ниже графика функции \(y = \frac{\sqrt{3}}{3}\) при \(t \in \left[\frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{2}\right)\): левый конец включён, а правый выколот, потому что в точке \(\frac{\pi}{2}\) тангенс не определён.

С учётом периодичности получаем \(\frac{\pi}{6} + \pi n \leqslant t < \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Вернёмся к переменной \(x\):

\[\frac{\pi}{6} + \pi n \leqslant \frac{x}{4} - \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + \pi n;\qquad \frac{\pi}{2} + \pi n \leqslant \frac{x}{4} < \frac{5\pi}{6} + \pi n;\qquad 2\pi + 4\pi n \leqslant x < \frac{10\pi}{3} + 4\pi n.\]

Найденные промежутки повторяются через \(4\pi\) — период функции \(y = \mathrm{tg}\left(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{3}\right)\).

3) Период функции \(y = \cos x\) равен \(2\pi\), поэтому решим двойное неравенство на промежутке \([-\pi;\ \pi]\) длиной в период.

На этом промежутке \(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) при \(x = \pm\frac{\pi}{6}\) и \(\cos x = \frac{1}{2}\) при \(x = \pm\frac{\pi}{3}\). График функции \(y = \cos x\) расположен не выше графика функции \(y = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и не ниже графика функции \(y = \frac{1}{2}\) при \(x \in \left[-\frac{\pi}{3};\ -\frac{\pi}{6}\right]\) и при \(x \in \left[\frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{3}\right]\); все концы включены, поскольку неравенства нестрогие.

Эти два промежутка симметричны относительно нуля и в один промежуток не сливаются.

С учётом периодичности множество решений — объединение всех промежутков вида \(\left[\frac{\pi}{6} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right]\) и \(\left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n;\ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n\right]\), \(n \in \mathbf{Z}\).

4) Неравенство с модулем равносильно совокупности

\[\left[\begin{array}{l} \mathrm{ctg}\,x \geqslant \frac{\sqrt{3}}{3}, \\ \mathrm{ctg}\,x \leqslant -\frac{\sqrt{3}}{3}. \end{array}\right.\]

Решим её на промежутке \((0;\ \pi)\) длиной в период функции \(y = \mathrm{ctg}\,x\).

Имеем: \(\mathrm{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{3}\) и \(\mathrm{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\). На рассматриваемом промежутке график функции \(y = \mathrm{ctg}\,x\) расположен не ниже графика функции \(y = \frac{\sqrt{3}}{3}\) при \(x \in \left(0;\ \frac{\pi}{3}\right]\) и не выше графика функции \(y = -\frac{\sqrt{3}}{3}\) при \(x \in \left[\frac{2\pi}{3};\ \pi\right)\). Концы \(0\) и \(\pi\) выколоты: в этих точках котангенс не определён.

Полученные промежутки симметричны относительно точки \(\frac{\pi}{2}\) и в один промежуток не сливаются.

С учётом периодичности множество решений — объединение всех промежутков вида \(\left(\pi n;\ \frac{\pi}{3} + \pi n\right]\) и \(\left[\frac{2\pi}{3} + \pi n;\ \pi + \pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\).

5) Рассмотрим функцию \(f(x) = \sin 2x\left(2\cos x - \sqrt{2}\right)\), \(D(f) = \mathbf{R}\). Она является периодической с периодом \(2\pi\); число \(\pi\) её периодом не является, поскольку \(f(x + \pi) = \sin 2x\left(-2\cos x - \sqrt{2}\right)\).

Найдём нули функции \(f\) на промежутке \([0;\ 2\pi]\). Имеем: \(\sin 2x\left(2\cos x - \sqrt{2}\right) = 0\);

\[\left[\begin{array}{l} \sin 2x = 0, \\ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}; \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi n}{2}, \\ x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbf{Z}. \end{array}\right.\]

На промежутке \([0;\ 2\pi]\) функция \(f\) имеет семь нулей: \(0\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\), \(\frac{3\pi}{2}\), \(\frac{7\pi}{4}\), \(2\pi\). Эти числа разбивают промежуток на промежутки знакопостоянства, и знак на каждом из них определим по пробной точке.

При \(x = \frac{\pi}{6}\) имеем \(\sin\frac{\pi}{3} > 0\) и \(2\cos\frac{\pi}{6} - \sqrt{2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} > 0\), поэтому на промежутке \(\left(0;\ \frac{\pi}{4}\right)\) знак «плюс».

При \(x = \frac{\pi}{3}\) имеем \(\sin\frac{2\pi}{3} > 0\) и \(2\cos\frac{\pi}{3} - \sqrt{2} = 1 - \sqrt{2} < 0\), поэтому на промежутке \(\left(\frac{\pi}{4};\ \frac{\pi}{2}\right)\) знак «минус».

При \(x = \frac{3\pi}{4}\) имеем \(\sin\frac{3\pi}{2} = -1 < 0\) и \(2\cos\frac{3\pi}{4} - \sqrt{2} = -2\sqrt{2} < 0\), поэтому на промежутке \(\left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right)\) знак «плюс».

При \(x = \frac{5\pi}{4}\) имеем \(\sin\frac{5\pi}{2} = 1 > 0\) и \(2\cos\frac{5\pi}{4} - \sqrt{2} = -2\sqrt{2} < 0\), поэтому на промежутке \(\left(\pi;\ \frac{3\pi}{2}\right)\) знак «минус».

При \(x = \frac{5\pi}{3}\) имеем \(\sin\frac{10\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0\) и \(2\cos\frac{5\pi}{3} - \sqrt{2} = 1 - \sqrt{2} < 0\), поэтому на промежутке \(\left(\frac{3\pi}{2};\ \frac{7\pi}{4}\right)\) знак «плюс».

При \(x = \frac{11\pi}{6}\) имеем \(\sin\frac{11\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0\) и \(2\cos\frac{11\pi}{6} - \sqrt{2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} > 0\), поэтому на промежутке \(\left(\frac{7\pi}{4};\ 2\pi\right)\) знак «минус».

Значит, положительные значения функция \(f\) принимает на промежутках \(\left(0;\ \frac{\pi}{4}\right)\), \(\left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right)\) и \(\left(\frac{3\pi}{2};\ \frac{7\pi}{4}\right)\). С учётом периодичности функции \(f\) запишем ответ.

Ответ: 1) \(\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}\); 2) \(2\pi + 4\pi n \leqslant x < \frac{10\pi}{3} + 4\pi n\); 3) \(\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{3} + 2\pi n\) или \(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leqslant x \leqslant -\frac{\pi}{6} + 2\pi n\); 4) \(\pi n < x \leqslant \frac{\pi}{3} + \pi n\) или \(\frac{2\pi}{3} + \pi n \leqslant x < \pi + \pi n\); 5) \(2\pi n < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n\), или \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \pi + 2\pi n\), или \(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n\); \(n \in \mathbf{Z}\).