Самостоятельная работа 31 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Тангенс — нечётная функция, поэтому \(\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right) = -\mathrm{tg}\left(4x - \frac{\pi}{3}\right)\), и данное уравнение можно переписать в виде \(\mathrm{tg}\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = 1\). Имеем: \(4x - \frac{\pi}{3} = \mathrm{arctg}\,1 + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(4x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi k\); \(4x = \frac{7\pi}{12} + \pi k\); \(x = \frac{7\pi}{48} + \frac{\pi k}{4}\).

2) Из равенства \(6\,\mathrm{tg}\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) - 7 = 0\) получаем \(\mathrm{tg}\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{7}{6}\). Уравнение \(\mathrm{tg}\,x = b\) имеет решения при любом значении \(b\). Имеем: \(2x - \frac{\pi}{4} = \mathrm{arctg}\,\frac{7}{6} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). Значение \(\mathrm{arctg}\,\frac{7}{6}\) не табличное, поэтому оставляем его под знаком арктангенса: \(2x = \mathrm{arctg}\,\frac{7}{6} + \frac{\pi}{4} + \pi k\); \(x = \frac{1}{2}\,\mathrm{arctg}\,\frac{7}{6} + \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\).

3) Из равенства \(3\,\mathrm{ctg}\left(6x - \frac{\pi}{3}\right) - 10 = 0\) получаем \(\mathrm{ctg}\left(6x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{10}{3}\). Уравнение \(\mathrm{ctg}\,x = b\) имеет решения при любом значении \(b\). Имеем: \(6x - \frac{\pi}{3} = \mathrm{arcctg}\,\frac{10}{3} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(6x = \mathrm{arcctg}\,\frac{10}{3} + \frac{\pi}{3} + \pi k\); \(x = \frac{1}{6}\,\mathrm{arcctg}\,\frac{10}{3} + \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{6}\).

Ответ: 1) \(\frac{7\pi}{48} + \frac{\pi k}{4}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 2) \(\frac{1}{2}\,\mathrm{arctg}\,\frac{7}{6} + \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\); 3) \(\frac{1}{6}\,\mathrm{arcctg}\,\frac{10}{3} + \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{6}\), \(k \in \mathbf{Z}\).

Решим уравнение. Имеем: \(6x + \frac{\pi}{3} = \mathrm{arctg}(-1) + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). По определению арктангенса \(\mathrm{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}\), так как число \(-\frac{\pi}{4}\) принадлежит промежутку \(\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)\) и \(\mathrm{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1\). Получаем: \(6x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + \pi k\); \(6x = -\frac{7\pi}{12} + \pi k\); \(x = -\frac{7\pi}{72} + \frac{\pi k}{6}\).

Корень положителен, когда \(-\frac{7\pi}{72} + \frac{\pi k}{6} > 0\), то есть когда \(\frac{\pi k}{6} > \frac{7\pi}{72}\); \(k > \frac{7}{12}\). С ростом \(k\) корень возрастает, поэтому наименьший положительный корень отвечает наименьшему целому \(k\), удовлетворяющему этому неравенству, то есть \(k = 1\).

При \(k = 1\) получаем \(x = -\frac{7\pi}{72} + \frac{\pi}{6} = \frac{-7\pi + 12\pi}{72} = \frac{5\pi}{72}\).

Ответ: \(\frac{5\pi}{72}\).

Решим уравнение. Имеем: \(2x = \mathrm{arctg}\,\sqrt{3} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); \(2x = \frac{\pi}{3} + \pi k\); \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}\).

Отберём корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\frac{\pi}{2};\ \pi\right]\). Промежуток задан нестрогими неравенствами, поэтому и неравенства для \(k\) будут нестрогими: \(-\frac{\pi}{2} \leqslant \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \leqslant \pi\). Умножим все части на \(\frac{6}{\pi}\): \(-3 \leqslant 1 + 3k \leqslant 6\); \(-4 \leqslant 3k \leqslant 5\); \(-\frac{4}{3} \leqslant k \leqslant \frac{5}{3}\). Этому условию удовлетворяют три целых числа: \(k = -1\), \(k = 0\) и \(k = 1\).

Им отвечают корни \(x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3}\), \(x = \frac{\pi}{6}\) и \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{3}\).

Ответ: три корня: \(-\frac{\pi}{3}\); \(\frac{\pi}{6}\); \(\frac{2\pi}{3}\).

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Значит, данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \mathrm{ctg}\,x = a, \\ \cos x \ne -\frac{1}{2}. \end{cases}\]

Котангенс определён при \(\sin x \ne 0\), а на промежутке \((-\pi;\ 0)\) синус в нуль не обращается, поэтому здесь функция \(y = \mathrm{ctg}\,x\) определена во всех точках и других ограничений на \(x\) нет.

Множество корней уравнения \(\mathrm{ctg}\,x = a\) задаётся формулой \(x = \mathrm{arcctg}\,a + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), причём при любом \(a\) число \(\mathrm{arcctg}\,a\) принадлежит промежутку \((0;\ \pi)\). При \(k \geqslant 0\) корень не меньше числа \(\mathrm{arcctg}\,a\), которое положительно, а при \(k \leqslant -2\) корень не больше числа \(\mathrm{arcctg}\,a - 2\pi\), которое меньше \(-\pi\). Остаётся \(k = -1\), и число \(\mathrm{arcctg}\,a - \pi\) действительно лежит в промежутке \((-\pi;\ 0)\). Значит, при любом \(a\) уравнение \(\mathrm{ctg}\,x = a\) имеет на промежутке \((-\pi;\ 0)\) ровно один корень \(\mathrm{arcctg}\,a - \pi\).

Найдём точки промежутка, в которых знаменатель обращается в нуль. Из уравнения \(\cos x = -\frac{1}{2}\) получаем \(x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); промежутку \((-\pi;\ 0)\) принадлежит только число \(-\frac{2\pi}{3}\).

Единственный корень уравнения \(\mathrm{ctg}\,x = a\) выколот тогда и только тогда, когда он равен \(-\frac{2\pi}{3}\), то есть когда \(a = \mathrm{ctg}\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\). Так как \(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\) и \(\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), то \(\mathrm{ctg}\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Изобразим ветвь графика функции \(y = \mathrm{ctg}\,x\) на промежутке \((-\pi;\ 0)\) с выколотой точкой \(\left(-\frac{2\pi}{3};\ \frac{\sqrt{3}}{3}\right)\) и две прямые \(y = a\): одну — проходящую через выколотую точку, другую — в общем положении.

Значит, при \(a = \frac{\sqrt{3}}{3}\) единственный корень уравнения \(\mathrm{ctg}\,x = a\) на промежутке \((-\pi;\ 0)\) обращает знаменатель в нуль, и данное уравнение корней не имеет. При всех остальных значениях параметра этот корень знаменатель в нуль не обращает, и данное уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: если \(a = \frac{\sqrt{3}}{3}\), то корней нет; если \(a \ne \frac{\sqrt{3}}{3}\), то один корень.