Самостоятельная работа 40 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) По теореме о производной суммы и следствию о постоянном множителе получаем (производная константы равна нулю):

\[\begin{aligned} &y' = (3x^7 - 6x^5 - 4x^2 + 17)' = 3(x^7)' - 6(x^5)' - 4(x^2)' + (17)' = {} \\ &= 3 \cdot 7x^6 - 6 \cdot 5x^4 - 4 \cdot 2x + 0 = 21x^6 - 30x^4 - 8x. \end{aligned}\]

2) По теореме о производной суммы получаем:

\[\begin{aligned} &y' = (\mathrm{tg}\,x + \mathrm{ctg}\,x)' = (\mathrm{tg}\,x)' + (\mathrm{ctg}\,x)' = {} \\ &= \frac{1}{\cos^2 x} + \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}. \end{aligned}\]

3) Функция определена при \(x \geqslant 0\), а производная квадратного корня существует при \(x > 0\). По теореме о производной произведения при \(x > 0\) получаем:

\[y' = (\sqrt{x})'(3x^2 + 2) + (3x^2 + 2)'\sqrt{x} = \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x}} + 6x\sqrt{x}.\]

Приведём сумму к общему знаменателю \(2\sqrt{x}\), учитывая, что \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x\) при \(x > 0\):

\[y' = \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x}} + \frac{12x^2}{2\sqrt{x}} = \frac{15x^2 + 2}{2\sqrt{x}}.\]

4) По теореме о производной частного при \(x > 0\) получаем:

\[y' = \frac{(x - 1)'\sqrt{x} - (\sqrt{x})'(x - 1)}{(\sqrt{x})^2} = \frac{\sqrt{x} - \frac{x - 1}{2\sqrt{x}}}{x}.\]

Числитель приведём к общему знаменателю: \(\sqrt{x} - \dfrac{x - 1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2x - (x - 1)}{2\sqrt{x}} = \dfrac{x + 1}{2\sqrt{x}}\). Тогда

\[y' = \frac{x + 1}{2\sqrt{x}} : x = \frac{x + 1}{2x\sqrt{x}}.\]

5) Данная функция — сложная функция \(y = f(g(x))\), где \(f(t) = \sqrt[3]{t}\), \(g(x) = x^3 - 2x\); производная \(f'(t) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{t^2}}\) существует при \(t \ne 0\). По теореме о производной сложной функции получаем:

\[y' = \left(\sqrt[3]{x^3 - 2x}\right)' = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x^3 - 2x)^2}} \cdot (x^3 - 2x)' = \frac{3x^2 - 2}{3\sqrt[3]{(x^3 - 2x)^2}}.\]

Равенство верно при \(x^3 - 2x \ne 0\). Так как \(x^3 - 2x = x(x^2 - 2)\), то производная существует при \(x \ne 0\), \(x \ne \sqrt{2}\) и \(x \ne -\sqrt{2}\); в этих трёх точках производной нет.

6) Функция определена при \(x \ne 0\). По теореме о производной сложной функции \(\left(\cos\dfrac{1}{x}\right)' = -\sin\dfrac{1}{x} \cdot \left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\sin\dfrac{1}{x} \cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = \dfrac{1}{x^2}\sin\dfrac{1}{x}\) — два минуса дают плюс. По теореме о производной произведения получаем:

\[\begin{aligned} &y' = (x^2)'\cos\frac{1}{x} + \left(\cos\frac{1}{x}\right)' x^2 = {} \\ &= 2x\cos\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\sin\frac{1}{x} \cdot x^2 = 2x\cos\frac{1}{x} + \sin\frac{1}{x}. \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(21x^6 - 30x^4 - 8x\); 2) \(\dfrac{1}{\cos^2 x} - \dfrac{1}{\sin^2 x}\); 3) \(\dfrac{15x^2 + 2}{2\sqrt{x}}\) при \(x > 0\); 4) \(\dfrac{x + 1}{2x\sqrt{x}}\) при \(x > 0\); 5) \(\dfrac{3x^2 - 2}{3\sqrt[3]{(x^3 - 2x)^2}}\) при \(x \ne 0\), \(x \ne \pm\sqrt{2}\); 6) \(2x\cos\dfrac{1}{x} + \sin\dfrac{1}{x}\) при \(x \ne 0\).

Производная функции в точке равна пределу отношения \(\dfrac{\Delta f}{\Delta x}\) при \(\Delta x \to 0\), поэтому она определяется значениями функции в любом интервале, содержащем эту точку. Значит, чтобы найти производную, достаточно раскрыть модуль на таком интервале.

Разложим на множители выражение под знаком модуля: \(x^2 - 3x = x(x - 3)\).

Точка \(x_1 = -2\) лежит в интервале \((-\infty;\ 0)\). Если \(x < 0\), то и \(x - 3 < 0\), то есть оба множителя отрицательны, поэтому произведение \(x(x - 3)\) положительно и \(\left| x^2 - 3x \right| = x^2 - 3x\). Значит, на этом интервале \(f(x) = x^2 - 3x\), откуда \(f'(x) = 2x - 3\) и \(f'(-2) = 2 \cdot (-2) - 3 = -7\).

Точка \(x_2 = 1\) лежит в интервале \((0;\ 3)\). Если \(0 < x < 3\), то \(x > 0\) и \(x - 3 < 0\), поэтому произведение \(x(x - 3)\) отрицательно и \(\left| x^2 - 3x \right| = -(x^2 - 3x) = 3x - x^2\). Значит, на этом интервале \(f(x) = 3x - x^2\), откуда \(f'(x) = 3 - 2x\) и \(f'(1) = 3 - 2 \cdot 1 = 1\).

Ответ: \(f'(-2) = -7\); \(f'(1) = 1\).