Самостоятельная работа 28 Вариант 3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Применим формулу разности синусов: полуразность аргументов равна \(\frac{100^\circ - 40^\circ}{2} = 30^\circ\), полусумма равна \(\frac{100^\circ + 40^\circ}{2} = 70^\circ\). Имеем: \[\sin 100^\circ - \sin 40^\circ = 2\sin 30^\circ\cos 70^\circ = 2\cdot\frac{1}{2}\cdot\cos 70^\circ = \cos 70^\circ.\]

2) Полусумма аргументов равна \(\frac{\left(3\alpha - \frac{3\pi}{4}\right) + \left(3\alpha + \frac{\pi}{4}\right)}{2} = \frac{6\alpha - \frac{\pi}{2}}{2} = 3\alpha - \frac{\pi}{4}\), а полуразность равна \(\frac{\left(3\alpha - \frac{3\pi}{4}\right) - \left(3\alpha + \frac{\pi}{4}\right)}{2} = -\frac{\pi}{2}\): аргументы отличаются ровно на \(\pi\). У формулы разности косинусов свой знак «минус», а \(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1\), и два минуса дают плюс: \[\cos\left(3\alpha - \frac{3\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right) = -2\sin\left(3\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2\sin\left(3\alpha - \frac{\pi}{4}\right).\]

3) Слагаемые — разные функции, поэтому сначала сведём их к одной формулой приведения: \(\sin \alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\). Полусумма аргументов \(2\alpha\) и \(\frac{\pi}{2} - \alpha\) равна \(\frac{2\alpha + \frac{\pi}{2} - \alpha}{2} = \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4}\), полуразность равна \(\frac{2\alpha - \frac{\pi}{2} + \alpha}{2} = \frac{3\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\). По формуле суммы косинусов: \[\cos 2\alpha + \sin \alpha = \cos 2\alpha + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 2\cos\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{3\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\right).\]

4) Вынесем множитель 2 до применения формулы и представим число \(\frac{1}{2}\) как косинус табличного угла: \(2\cos \alpha - 1 = 2\left(\cos\alpha - \frac{1}{2}\right) = 2\left(\cos\alpha - \cos\frac{\pi}{3}\right)\). Полусумма аргументов \(\alpha\) и \(\frac{\pi}{3}\) равна \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{6}\), полуразность равна \(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{6}\). По формуле разности косинусов, у которой есть свой знак «минус»: \[2\cos \alpha - 1 = 2\cdot\left(-2\sin\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{6}\right)\right) = -4\sin\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{6}\right).\]

Ответ: 1) \(\cos 70^\circ\); 2) \(2\sin\left(3\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\); 3) \(2\cos\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{3\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\); 4) \(-4\sin\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{6}\right)\).

1) По формуле преобразования произведения синусов в сумму \(\sin x\sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y))\) разность аргументов идёт первой: \[\sin \frac{11\pi}{24} \sin \frac{7\pi}{24} = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{11\pi - 7\pi}{24} - \cos\frac{11\pi + 7\pi}{24}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{3\pi}{4}\right).\]

Оба угла табличные: \(\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt3}{2}\), а \(\cos\frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt2}{2}\) по формуле приведения. Значит, \[\sin \frac{11\pi}{24} \sin \frac{7\pi}{24} = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2}\right) = \frac{\sqrt3 + \sqrt2}{4}.\]

2) По формуле преобразования произведения синуса на косинус в сумму \(\sin x\cos y = \frac{1}{2}(\sin(x - y) + \sin(x + y))\) при \(x = \alpha\) и \(y = \frac{\pi}{6} - \alpha\) разность аргументов равна \(\alpha - \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = 2\alpha - \frac{\pi}{6}\), а сумма равна \(\frac{\pi}{6}\). Значит, \[\sin \alpha \cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) + \sin\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{4}.\]

Ответ: 1) \(\frac{\sqrt3 + \sqrt2}{4}\); 2) \(\frac{1}{2}\sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{4}\).

1) Преобразуем левую часть тождества, представив каждое произведение в виде суммы. Разность аргументов идёт первой, поэтому \[\sin 5\alpha \sin \alpha = \frac{1}{2}(\cos 4\alpha - \cos 6\alpha),\qquad \cos 7\alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}(\cos 6\alpha + \cos 8\alpha).\]

Слагаемые с \(\cos 6\alpha\) взаимно уничтожаются. Полусумма аргументов \(4\alpha\) и \(8\alpha\) равна \(6\alpha\), полуразность равна \(-2\alpha\), а косинус — функция чётная, поэтому по формуле суммы косинусов: \[\sin 5\alpha \sin \alpha + \cos 7\alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}(\cos 4\alpha + \cos 8\alpha) = \frac{1}{2}\cdot 2\cos 6\alpha\cos(-2\alpha) = \cos 6\alpha \cos 2\alpha.\]

2) Преобразуем левую часть по формуле понижения степени \(\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}\): \[\sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = \frac{1 - \cos(2\alpha + 2\beta)}{2} - \frac{1 - \cos(2\alpha - 2\beta)}{2} = \frac{\cos(2\alpha - 2\beta) - \cos(2\alpha + 2\beta)}{2}.\]

Полусумма аргументов \(2\alpha - 2\beta\) и \(2\alpha + 2\beta\) равна \(2\alpha\), полуразность равна \(-2\beta\). Синус нечётен, поэтому минус формулы разности косинусов и минус от \(\sin(-2\beta)\) дают плюс: \[\frac{\cos(2\alpha - 2\beta) - \cos(2\alpha + 2\beta)}{2} = \frac{-2\sin 2\alpha\sin(-2\beta)}{2} = \sin 2\alpha \sin 2\beta.\]

Ответ: тождества доказаны: 1) \(\sin 5\alpha \sin \alpha + \cos 7\alpha \cos \alpha = \cos 6\alpha \cos 2\alpha\); 2) \(\sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta\).