Самостоятельная работа 29 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Правая часть равна нулю, поэтому пользуемся формулой корней уравнения \(\cos x = 0\). Имеем: \(\frac{3x}{7} = \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Тогда \(3x = \frac{7\pi}{2} + 7\pi n\); \(x = \frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi n}{3}\).

2) Косинус — чётная функция, поэтому перепишем данное уравнение в виде \(\cos(6x - 5) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Имеем: \(6x - 5 = \pm\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Так как \(\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}\), получаем: \(6x - 5 = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n\); \(6x = \pm\frac{5\pi}{6} + 5 + 2\pi n\); \(x = \pm\frac{5\pi}{36} + \frac{5}{6} + \frac{\pi n}{3}\).

3) Имеем: \(\frac{7\pi x}{8} = \pm\arccos\frac{1}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); \(\frac{7\pi x}{8} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n\). Умножим обе части на \(\frac{8}{7\pi}\) — множитель \(\pi\) сокращается, и корни оказываются рациональными числами: \(x = \pm\frac{8}{21} + \frac{16n}{7}\).

4) Модуль правой части больше единицы: \(\left|-\frac{\pi}{2}\right| = \frac{\pi}{2} > 1\), так как \(\pi > 2\). Областью значений функции \(y = \cos x\) является промежуток \([-1;\ 1]\), поэтому при \(|b| > 1\) уравнение \(\cos x = b\) решений не имеет. Значит, корней нет.

5) Из равенства \(5\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) - 1 = 0\) получаем \(\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{5}\). Имеем: \(3x - \frac{\pi}{4} = \pm\arccos\frac{1}{5} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Значение \(\arccos\frac{1}{5}\) не табличное, поэтому оставляем его под знаком арккосинуса: \(3x = \pm\arccos\frac{1}{5} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n\); \(x = \pm\frac{1}{3}\arccos\frac{1}{5} + \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}\).

Ответ: 1) \(\frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi n}{3}\), \(n \in \mathbf{Z}\); 2) \(\pm\frac{5\pi}{36} + \frac{5}{6} + \frac{\pi n}{3}\), \(n \in \mathbf{Z}\); 3) \(\pm\frac{8}{21} + \frac{16n}{7}\), \(n \in \mathbf{Z}\); 4) корней нет; 5) \(\pm\frac{1}{3}\arccos\frac{1}{5} + \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Решим уравнение. Имеем: \(6x - \frac{\pi}{4} = \pm\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Так как \(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}\), получаем: \(6x - \frac{\pi}{4} = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\); \(6x = \pm\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n\); \(x = \pm\frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{3}\).

Для отбора корней запишем эту формулу двумя сериями, приведя слагаемые к общему знаменателю \(72\): \[x = \frac{11\pi}{72} + \frac{\pi n}{3} \quad \text{и} \quad x = -\frac{5\pi}{72} + \frac{\pi n}{3},\ n \in \mathbf{Z}.\]

Промежуток в условии задан строгими неравенствами, поэтому и неравенства для \(n\) будут строгими.

Для первой серии условие \(-\frac{\pi}{12} < x < \frac{3\pi}{8}\) даёт двойное неравенство \(-\frac{\pi}{12} < \frac{11\pi}{72} + \frac{\pi n}{3} < \frac{3\pi}{8}\). Умножим все его части на \(\frac{72}{\pi}\): \(-6 < 11 + 24n < 27\); \(-17 < 24n < 16\); \(-\frac{17}{24} < n < \frac{2}{3}\). Этому условию удовлетворяет одно целое число \(n = 0\), и ему отвечает корень \(x = \frac{11\pi}{72}\).

Для второй серии: \(-\frac{\pi}{12} < -\frac{5\pi}{72} + \frac{\pi n}{3} < \frac{3\pi}{8}\); \(-6 < -5 + 24n < 27\); \(-1 < 24n < 32\); \(-\frac{1}{24} < n < \frac{4}{3}\). Здесь подходят два целых числа: \(n = 0\), которому отвечает корень \(x = -\frac{5\pi}{72}\), и \(n = 1\), которому отвечает корень \(x = -\frac{5\pi}{72} + \frac{\pi}{3} = \frac{19\pi}{72}\).

Ответ: \(-\frac{5\pi}{72}\); \(\frac{11\pi}{72}\); \(\frac{19\pi}{72}\).

Количество корней уравнения \(\cos x = a\) на данном промежутке равно количеству общих точек прямой \(y = a\) с той частью графика функции \(y = \cos x\), которая отвечает промежутку \(\left[-\frac{3\pi}{4};\ \frac{\pi}{3}\right]\). Изобразим график функции \(y = \cos x\), выделив эту его часть.

Обе концевые точки \(\left(-\frac{3\pi}{4};\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) и \(\left(\frac{\pi}{3};\ \frac{1}{2}\right)\) выделенной кривой принадлежат: промежуток замкнут. На промежутке \(\left[-\frac{3\pi}{4};\ 0\right]\) функция \(y = \cos x\) возрастает от \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) до \(1\), а на промежутке \(\left[0;\ \frac{\pi}{3}\right]\) убывает от \(1\) до \(\frac{1}{2}\).

Рассматривая различные положения прямой \(y = a\), получаем такие результаты:
если \(a < -\frac{\sqrt{2}}{2}\), то корней нет;
если \(-\frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant a < \frac{1}{2}\), то один корень (он лежит на возрастающей части кривой);
если \(\frac{1}{2} \leqslant a < 1\), то два корня (по одному на каждой части);
если \(a = 1\), то один корень (обе части кривой сходятся в точке \((0;\ 1)\));
если \(a > 1\), то корней нет.

Ответ: если \(a < -\frac{\sqrt{2}}{2}\) или \(a > 1\), то корней нет; если \(-\frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant a < \frac{1}{2}\) или \(a = 1\), то один корень; если \(\frac{1}{2} \leqslant a < 1\), то два корня.