Самостоятельная работа 37 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1. Для каждой из функций, графики которых изображены на рисунке 25, установите:
1) определена ли эта функция в точке \(x_0\);
2) существует ли предел функции в точке \(x_0\); в случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен;

3) если предел в точке \(x_0\) существует, то равен ли он значению функции в этой точке.

а) В точке с абсциссой \(x_0\) на кривой стоит закрашенный кружок, поэтому функция в точке \(x_0\) определена и её значение равно \(f(x_0)\). Кривая проходит через эту точку без разрыва: если значения аргумента стремятся к \(x_0\), оставаясь меньшими \(x_0\), то соответствующие значения функции стремятся к числу \(f(x_0)\); если значения аргумента стремятся к \(x_0\), оставаясь бо́льшими \(x_0\), то значения функции стремятся к тому же числу \(f(x_0)\). Значит, предел функции в точке \(x_0\) существует и \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\). Предел равен значению функции в точке \(x_0\), поэтому эта функция непрерывна в точке \(x_0\).

б) В точке с абсциссой \(x_0\) на графике стоит закрашенная точка на высоте \(f(x_0)\), поэтому функция в точке \(x_0\) определена. Левая ветвь обрывается ниже, выколотым кружком на высоте \(a\): если значения аргумента стремятся к \(x_0\), оставаясь меньшими \(x_0\), то соответствующие значения функции стремятся к числу \(a\). Если же значения аргумента стремятся к \(x_0\), оставаясь бо́льшими \(x_0\), то значения функции стремятся к числу \(f(x_0)\). Так как \(a \ne f(x_0)\), нет числа, к которому стремились бы значения функции: предел в точке \(x_0\) не существует, поэтому третий вопрос не рассматривается. Непрерывной в точке \(x_0\) эта функция не является.

в) В точке с абсциссой \(x_0\) на графике не отмечено ничего, поэтому функция в точке \(x_0\) не определена. Если значения аргумента стремятся к \(x_0\), оставаясь меньшими \(x_0\), то соответствующие значения функции становятся всё бо́льшими и бо́льшими и неограниченно увеличиваются; если значения аргумента стремятся к \(x_0\), оставаясь бо́льшими \(x_0\), значения функции тоже неограниченно увеличиваются. Значит, не существует числа, к которому стремятся значения функции: предел в точке \(x_0\) не существует, поэтому третий вопрос не рассматривается.

Ответ: а) функция определена в точке \(x_0\); предел существует, \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\); предел равен значению функции в точке \(x_0\). б) функция определена в точке \(x_0\); предел в точке \(x_0\) не существует; третий вопрос не рассматривается. в) функция в точке \(x_0\) не определена; предел в точке \(x_0\) не существует; третий вопрос не рассматривается.

При \(x < -1\) график функции \(f\) — часть прямой \(y = 4 - 2x\), при \(x \geqslant -1\) — часть параболы \(y = x^2 + 5\). Значение функции в точке \(x_0 = -1\) задаёт вторая формула: \(f(-1) = (-1)^2 + 5 = 6\). Построим график функции \(f\).

Если значения аргумента стремятся к числу \(-1\), оставаясь меньшими \(-1\), то значения функции равны \(4 - 2x\) и стремятся к числу \(4 - 2 \cdot (-1) = 6\). Если значения аргумента стремятся к числу \(-1\), оставаясь бо́льшими \(-1\), то значения функции равны \(x^2 + 5\) и стремятся к числу \((-1)^2 + 5 = 6\). Обе части графика подходят к одной и той же точке \((-1;\ 6)\), разрыва у графика нет.

Значит, предел функции \(f\) в точке \(x_0 = -1\) существует и \(\lim\limits_{x \to -1} f(x) = 6\).

Так как \(f(-1) = 6\), то выполняется равенство \(\lim\limits_{x \to -1} f(x) = f(-1)\), а это и означает, по определению непрерывности функции в точке, что функция \(f\) непрерывна в точке \(x_0 = -1\). Излом графика в точке \((-1;\ 6)\) непрерывности не мешает.

Ответ: функция \(f\) непрерывна в точке \(x_0 = -1\).

1) Функция \(y = \mathrm{ctg}\,3x\) определена в точке \(\frac{\pi}{6}\), так как \(\sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1 \ne 0\), и является непрерывной. Поэтому её предел в этой точке равен значению функции в этой точке: \[\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{6}} \mathrm{ctg}\,3x = \mathrm{ctg}\,\frac{\pi}{2} = 0.\]

2) Выражение \(\frac{2\sqrt{x} - 5x}{3x - 2\sqrt{x}}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\) и \(3x - 2\sqrt{x} \ne 0\). Так как \(3x - 2\sqrt{x} = \sqrt{x}\left(3\sqrt{x} - 2\right)\), знаменатель обращается в нуль при \(x = 0\) и при \(\sqrt{x} = \frac{2}{3}\), то есть при \(x = \frac{4}{9}\). Значит, функция определена при \(x > 0\), \(x \ne \frac{4}{9}\). В любом интервале, содержащем точку \(0\), есть точки её области определения, отличные от \(0\), поэтому о пределе этой функции в точке \(0\) говорить можно.

И числитель, и знаменатель обращаются в нуль при \(x = 0\), поэтому теорему о пределе частного применить нельзя. При \(x > 0\) вынесем \(\sqrt{x}\) за скобки в числителе и в знаменателе (здесь \(x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\)) и сократим дробь на \(\sqrt{x}\): \[\lim\limits_{x \to 0} \frac{2\sqrt{x} - 5x}{3x - 2\sqrt{x}} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}\left(2 - 5\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}\left(3\sqrt{x} - 2\right)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{2 - 5\sqrt{x}}{3\sqrt{x} - 2}.\]

Полученная функция определена в точке \(0\) (её знаменатель в этой точке равен \(-2 \ne 0\)) и непрерывна, поэтому её предел равен её значению: \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{2 - 5\sqrt{x}}{3\sqrt{x} - 2} = \frac{2 - 0}{0 - 2} = -1\).

3) Корни квадратного трёхчлена \(x^2 - 7x + 6\) равны \(1\) и \(6\), поэтому \(x^2 - 7x + 6 = (x - 6)(x - 1)\); кроме того, \(x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)\). И числитель, и знаменатель обращаются в нуль при \(x = 6\), поэтому теорему о пределе частного применить нельзя; сократим дробь на \(x - 6\): \[\lim\limits_{x \to 6} \frac{x^2 - 7x + 6}{x^2 - 36} = \lim\limits_{x \to 6} \frac{(x - 6)(x - 1)}{(x - 6)(x + 6)} = \lim\limits_{x \to 6} \frac{x - 1}{x + 6}.\]

Рациональная функция \(y = \frac{x - 1}{x + 6}\) определена в точке \(6\) и является непрерывной, поэтому её предел в этой точке равен её значению в этой точке: \(\lim\limits_{x \to 6} \frac{x - 1}{x + 6} = \frac{6 - 1}{6 + 6} = \frac{5}{12}\).

Ответ: 1) \(0\); 2) \(-1\); 3) \(\frac{5}{12}\).