Самостоятельная работа 38 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Придадим аргументу в точке \(x_0\) приращение \(\Delta x\) и найдём соответствующее приращение функции: \[\begin{aligned} &\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \left(1 - 4(x_0 + \Delta x)^2\right) - \left(1 - 4x_0^2\right) = {} \\ &= 1 - 4x_0^2 - 8x_0\,\Delta x - 4\Delta x^2 - 1 + 4x_0^2 = -8x_0\,\Delta x - 4\Delta x^2. \end{aligned}\]

Тогда \[\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-8x_0\,\Delta x - 4\Delta x^2}{\Delta x} = -8x_0 - 4\Delta x.\]

Если \(\Delta x \to 0\), то значения выражения \(-8x_0 - 4\Delta x\) стремятся к числу \(-8x_0\), то есть \(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = -8x_0\).

Ответ: \(\frac{\Delta f}{\Delta x} = -8x_0 - 4\Delta x\); \(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = -8x_0\).

Дано:
\(s(t) = 5t^2 + 3\) — закон движения, перемещение в метрах, время в секундах
\(t_0 = 2\) с

Найти: \(v(t_0)\) — мгновенную скорость точки в момент времени \(t_0\).

Решение:

Придадим аргументу в точке \(t_0\) приращение \(\Delta t\), то есть рассмотрим промежуток времени от \(t_0\) до \(t_0 + \Delta t\). За этот промежуток времени точка осуществит перемещение \[\begin{aligned} &\Delta s = s(t_0 + \Delta t) - s(t_0) = \left(5(t_0 + \Delta t)^2 + 3\right) - \left(5t_0^2 + 3\right) = {} \\ &= 5t_0^2 + 10t_0\,\Delta t + 5\Delta t^2 + 3 - 5t_0^2 - 3 = 10t_0\,\Delta t + 5\Delta t^2 \end{aligned}\] — свободные слагаемые \(3\) в разности взаимно уничтожаются.

Средняя скорость движения точки за этот промежуток времени равна \[v_{\text{ср}}(\Delta t) = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{10t_0\,\Delta t + 5\Delta t^2}{\Delta t} = 10t_0 + 5\Delta t.\]

Если \(\Delta t \to 0\), то значения выражения \(10t_0 + 5\Delta t\) стремятся к числу \(10t_0\), то есть \[v(t_0) = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = 10t_0.\]

Отсюда \(v(2) = 10 \cdot 2 = 20\) (м/с).

Ответ: \(20\) м/с.

Придадим аргументу в точке \(x_0\) приращение \(\Delta x\) и найдём соответствующее приращение функции \(y = x^2 - 3\): \[\begin{aligned} &\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \left((x_0 + \Delta x)^2 - 3\right) - \left(x_0^2 - 3\right) = {} \\ &= x_0^2 + 2x_0\,\Delta x + \Delta x^2 - 3 - x_0^2 + 3 = 2x_0\,\Delta x + \Delta x^2 \end{aligned}\] — слагаемые \(-3\) в разности взаимно уничтожаются.

Воспользовавшись формулой для вычисления углового коэффициента касательной, запишем: \[k(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2x_0\,\Delta x + \Delta x^2}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} (2x_0 + \Delta x).\]

Если \(\Delta x \to 0\), то значения выражения \(2x_0 + \Delta x\) стремятся к числу \(2x_0\), то есть \(k(x_0) = 2x_0\).

Эта формула позволяет найти угловой коэффициент касательной в любой точке, в частности в точке с абсциссой \(x_0 = 1\): \(k(1) = 2 \cdot 1 = 2\).

Ответ: \(2\).