Самостоятельная работа 28 Вариант 2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Полусумма аргументов равна \(\frac{\frac{7\pi}{9} + \frac{5\pi}{9}}{2} = \frac{2\pi}{3}\), полуразность равна \(\frac{\frac{7\pi}{9} - \frac{5\pi}{9}}{2} = \frac{\pi}{9}\). По формуле приведения \(\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}\), поэтому по формуле суммы косинусов \(\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}\) получаем: \[\begin{aligned} &\cos\frac{7\pi}{9} + \cos\frac{5\pi}{9} = 2\cos\frac{2\pi}{3}\cos\frac{\pi}{9} = {} \\ &= 2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cos\frac{\pi}{9} = -\cos\frac{\pi}{9}. \end{aligned}\]

2) Полусумма аргументов равна \(\beta\), полуразность равна \(\frac{\pi}{10}\). По формуле суммы косинусов \[\cos\left(\beta + \frac{\pi}{10}\right) + \cos\left(\beta - \frac{\pi}{10}\right) = 2\cos\beta\cos\frac{\pi}{10}.\]

3) Сведём выражение к одной функции: по формуле приведения \(\cos\beta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\). Полуразность аргументов равна \(\frac{3\beta - \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)}{2} = 2\beta - \frac{\pi}{4}\), полусумма равна \(\frac{3\beta + \left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)}{2} = \beta + \frac{\pi}{4}\). По формуле разности синусов \(\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\) получаем: \[\begin{aligned} &\sin 3\beta - \cos\beta = \sin 3\beta - \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) = {} \\ &= 2\sin\left(2\beta - \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\beta + \frac{\pi}{4}\right). \end{aligned}\]

4) Так как \(\frac{\sqrt3}{2} = \sin\frac{\pi}{3}\), вынесем множитель 2 и применим формулу разности синусов (под синусом стоит полуразность аргументов, под косинусом — полусумма): \[\begin{aligned} &\sqrt3 - 2\sin\alpha = 2\left(\frac{\sqrt3}{2} - \sin\alpha\right) = 2\left(\sin\frac{\pi}{3} - \sin\alpha\right) = {} \\ &= 2\cdot 2\sin\frac{\frac{\pi}{3} - \alpha}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{3} + \alpha}{2} = 4\sin\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right). \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(-\cos\frac{\pi}{9}\); 2) \(2\cos\beta\cos\frac{\pi}{10}\); 3) \(2\sin\left(2\beta - \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\beta + \frac{\pi}{4}\right)\); 4) \(4\sin\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\).

1) По формуле преобразования произведения в сумму \(\sin x\cos y = \frac{1}{2}(\sin(x - y) + \sin(x + y))\), учитывая нечётность синуса, получаем: \[\begin{aligned} &\sin 15^\circ\cos 40^\circ = \frac{1}{2}(\sin(15^\circ - 40^\circ) + \sin(15^\circ + 40^\circ)) = {} \\ &= \frac{1}{2}(\sin(-25^\circ) + \sin 55^\circ) = \frac{1}{2}(\sin 55^\circ - \sin 25^\circ). \end{aligned}\] Углы \(25^\circ\) и \(55^\circ\) не табличные, поэтому полученная сумма и есть окончательный вид выражения.

2) Косинус — функция чётная, поэтому \(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\). По формуле преобразования произведения в сумму \(\cos x\cos y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) + \cos(x + y))\) получаем: \[\begin{aligned} &\cos\alpha\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3} - \alpha\right) + \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{3} + \alpha\right)\right) = {} \\ &= \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{3} + \cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{1}{2}\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{4}. \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(\frac{1}{2}(\sin 55^\circ - \sin 25^\circ)\); 2) \(\frac{1}{2}\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{4}\).

1) Преобразуем в суммы оба произведения левой части, учитывая, что разность аргументов второго произведения отрицательна, а синус — функция нечётная, то есть \(\sin(-3\alpha) = -\sin 3\alpha\): \[\sin 4\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}(\sin(4\alpha - \alpha) + \sin(4\alpha + \alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 3\alpha + \sin 5\alpha);\] \[\sin 2\alpha\cos 5\alpha = \frac{1}{2}(\sin(2\alpha - 5\alpha) + \sin(2\alpha + 5\alpha)) = \frac{1}{2}(-\sin 3\alpha + \sin 7\alpha).\] Подставив полученные суммы в левую часть, имеем: \[\begin{aligned} &\sin 4\alpha\cos\alpha + \sin 2\alpha\cos 5\alpha = {} \\ &= \frac{1}{2}(\sin 3\alpha + \sin 5\alpha) + \frac{1}{2}(-\sin 3\alpha + \sin 7\alpha) = \frac{1}{2}(\sin 5\alpha + \sin 7\alpha). \end{aligned}\] Применив формулу суммы синусов и чётность косинуса, получаем: \[\frac{1}{2}(\sin 5\alpha + \sin 7\alpha) = \frac{1}{2}\cdot 2\sin\frac{5\alpha + 7\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha - 7\alpha}{2} = \sin 6\alpha\cos(-\alpha) = \sin 6\alpha\cos\alpha.\] Левая часть преобразована в правую, тождество доказано.

2) Применим формулу понижения степени \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\): \[\begin{aligned} &\cos^2(\alpha - \beta) - \cos^2(\alpha + \beta) = {} \\ &= \frac{1 + \cos(2\alpha - 2\beta)}{2} - \frac{1 + \cos(2\alpha + 2\beta)}{2} = {} \\ &= \frac{\cos(2\alpha - 2\beta) - \cos(2\alpha + 2\beta)}{2}. \end{aligned}\] Полусумма аргументов равна \(2\alpha\), полуразность равна \(-2\beta\), а синус — функция нечётная, поэтому минус самой формулы разности косинусов и минус значения \(\sin(-2\beta)\) дают плюс: \[\begin{aligned} &\frac{\cos(2\alpha - 2\beta) - \cos(2\alpha + 2\beta)}{2} = \frac{1}{2}\cdot\left(-2\sin 2\alpha\sin(-2\beta)\right) = {} \\ &= -\sin 2\alpha\sin(-2\beta) = \sin 2\alpha\sin 2\beta. \end{aligned}\] Левая часть преобразована в правую, тождество доказано.

Ответ: тождества доказаны: 1) \(\sin 4\alpha\cos\alpha + \sin 2\alpha\cos 5\alpha = \sin 6\alpha\cos\alpha\); 2) \(\cos^2(\alpha - \beta) - \cos^2(\alpha + \beta) = \sin 2\alpha\sin 2\beta\).