Самостоятельная работа 28 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) По формуле суммы косинусов \(\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}\): \[\cos 40^\circ + \cos 10^\circ = 2\cos\frac{40^\circ + 10^\circ}{2}\cos\frac{40^\circ - 10^\circ}{2} = 2\cos 25^\circ\cos 15^\circ.\]

2) Полусумма аргументов равна \(\frac{\left(2\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) + \left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right)}{2} = \frac{4\alpha - \frac{\pi}{3}}{2} = 2\alpha - \frac{\pi}{6}\), полуразность равна \(\frac{\left(2\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) - \left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right)}{2} = -\frac{\pi}{2}\). Здесь \(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1\), поэтому минус формулы разности косинусов \(\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\) и минус этого значения дают плюс: \[\begin{aligned} &\cos\left(2\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} + 2\alpha\right) = {} \\ &= -2\sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2\sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right). \end{aligned}\]

3) Сведём выражение к одной функции: по формуле приведения \(\sin 2\beta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\beta\right)\). Полусумма аргументов равна \(\frac{4\beta + \left(\frac{\pi}{2} - 2\beta\right)}{2} = \beta + \frac{\pi}{4}\), полуразность равна \(\frac{4\beta - \left(\frac{\pi}{2} - 2\beta\right)}{2} = 3\beta - \frac{\pi}{4}\). По формуле разности косинусов \[\begin{aligned} &\cos 4\beta - \sin 2\beta = \cos 4\beta - \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\beta\right) = {} \\ &= -2\sin\left(\beta + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(3\beta - \frac{\pi}{4}\right). \end{aligned}\]

4) Так как \(\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}\), вынесем множитель 2 и применим формулу суммы синусов: \[\begin{aligned} &1 + 2\sin\alpha = 2\left(\frac{1}{2} + \sin\alpha\right) = 2\left(\sin\alpha + \sin\frac{\pi}{6}\right) = {} \\ &= 2\cdot 2\sin\frac{\alpha + \frac{\pi}{6}}{2}\cos\frac{\alpha - \frac{\pi}{6}}{2} = 4\sin\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right). \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(2\cos 25^\circ\cos 15^\circ\); 2) \(2\sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right)\); 3) \(-2\sin\left(\beta + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(3\beta - \frac{\pi}{4}\right)\); 4) \(4\sin\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right)\).

1) По формуле преобразования произведения в сумму \(\sin x\cos y = \frac{1}{2}(\sin(x - y) + \sin(x + y))\): \[\begin{aligned} &\sin\frac{5\pi}{24}\cos\frac{11\pi}{24} = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{5\pi}{24} - \frac{11\pi}{24}\right) + \sin\left(\frac{5\pi}{24} + \frac{11\pi}{24}\right)\right) = {} \\ &= \frac{1}{2}\left(\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \sin\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(-\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\right) = \frac{\sqrt3 - \sqrt2}{4}. \end{aligned}\] Здесь \(\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt2}{2}\) (синус нечётен), а \(\sin\frac{2\pi}{3} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}\) по формуле приведения.

2) По формуле преобразования произведения в сумму \(\cos x\cos y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) + \cos(x + y))\), учитывая, что \(\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\), получаем: \[\begin{aligned} &\cos\alpha\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{3} - \alpha\right)\right) = {} \\ &= \frac{1}{2}\left(\cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{3}\right) + \cos\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{4}. \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(\frac{\sqrt3 - \sqrt2}{4}\); 2) \(\frac{1}{2}\cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{4}\).

1) Преобразуем в суммы оба произведения левой части: \[\cos 2\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha - \alpha) + \cos(2\alpha + \alpha)) = \frac{1}{2}(\cos\alpha + \cos 3\alpha);\] \[\sin 4\alpha\sin\alpha = \frac{1}{2}(\cos(4\alpha - \alpha) - \cos(4\alpha + \alpha)) = \frac{1}{2}(\cos 3\alpha - \cos 5\alpha).\] Подставив полученные суммы в левую часть, имеем: \[\begin{aligned} &\cos 2\alpha\cos\alpha - \sin 4\alpha\sin\alpha = {} \\ &= \frac{1}{2}(\cos\alpha + \cos 3\alpha) - \frac{1}{2}(\cos 3\alpha - \cos 5\alpha) = \frac{1}{2}(\cos\alpha + \cos 5\alpha). \end{aligned}\] Применив формулу суммы косинусов и чётность косинуса, получаем: \[\frac{1}{2}(\cos\alpha + \cos 5\alpha) = \frac{1}{2}\cdot 2\cos\frac{\alpha + 5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha - 5\alpha}{2} = \cos 3\alpha\cos(-2\alpha) = \cos 3\alpha\cos 2\alpha.\] Левая часть преобразована в правую, тождество доказано.

2) Применим формулы понижения степени \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\) и \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\): \[\begin{aligned} &\cos^2(\alpha - \beta) - \sin^2(\alpha + \beta) = {} \\ &= \frac{1 + \cos(2\alpha - 2\beta)}{2} - \frac{1 - \cos(2\alpha + 2\beta)}{2} = {} \\ &= \frac{\cos(2\alpha - 2\beta) + \cos(2\alpha + 2\beta)}{2}. \end{aligned}\] Слагаемые \(\frac{1}{2}\) и \(-\frac{1}{2}\) взаимно уничтожились. Полусумма аргументов оставшихся косинусов равна \(2\alpha\), полуразность равна \(-2\beta\), поэтому по формуле суммы косинусов и чётности косинуса \[\frac{\cos(2\alpha - 2\beta) + \cos(2\alpha + 2\beta)}{2} = \frac{1}{2}\cdot 2\cos 2\alpha\cos(-2\beta) = \cos 2\alpha\cos 2\beta.\] Левая часть преобразована в правую, тождество доказано.

Ответ: тождества доказаны: 1) \(\cos 2\alpha\cos\alpha - \sin 4\alpha\sin\alpha = \cos 3\alpha\cos 2\alpha\); 2) \(\cos^2(\alpha - \beta) - \sin^2(\alpha + \beta) = \cos 2\alpha\cos 2\beta\).