Вопросы после параграфа §8 на странице 67, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Нулём функции называют значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. Нули функции — это абсциссы общих точек графика функции и оси абсцисс.

Например, нуль функции \(f(x) = 3x - 12\) находят из уравнения \(3x - 12 = 0\): \(3x = 12\), \(x = 4\). Действительно, \(f(4) = 3 \cdot 4 - 12 = 0\). Функция \(y = x^2 - 9\) имеет два нуля: из уравнения \(x^2 - 9 = 0\) получаем \(x^2 = 9\), \(x = -3\) или \(x = 3\). А функция \(y = x^2 + 1\) нулей не имеет: \(x^2 + 1 \geqslant 1\) при любом \(x\).

Ответ: значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

Промежутком знакопостоянства функции называют промежуток, на котором функция принимает значения одного знака — только положительные или только отрицательные. На таком промежутке график функции лежит целиком выше оси абсцисс или целиком ниже неё.

Например, функция \(f(x) = 3x - 12\) принимает положительные значения, если \(3x - 12 > 0\), т. е. при \(x > 4\), и отрицательные значения, если \(3x - 12 < 0\), т. е. при \(x < 4\). Значит, промежутки \((4;\ +\infty)\) и \((-\infty;\ 4)\) — промежутки знакопостоянства функции \(f\).

При поиске промежутков знакопостоянства указывают максимальные промежутки, на которых функция сохраняет знак. Так, на промежутке \((0;\ 4)\) функция \(f\) тоже принимает только отрицательные значения, но в ответ включают содержащий его промежуток \((-\infty;\ 4)\). А промежуток \((0;\ 5)\) промежутком знакопостоянства функции \(f\) не является: \(f(1) = -9\) — отрицательное число, а \(f(5) = 3\) — положительное.

Ответ: промежуток, на котором функция принимает значения одного знака (только положительные или только отрицательные).

Функцию \(f\) называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента \(x_1\) и \(x_2\) из этого промежутка таких, что \(x_2 > x_1\), выполняется неравенство \(f(x_2) > f(x_1)\). Иначе говоря, на этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции: при движении по оси абсцисс слева направо график функции идёт вверх.

Например, функция \(y = x^2\) возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\). Действительно, пусть \(x_1\) и \(x_2\) — произвольные значения аргумента из этого промежутка, причём \(x_2 > x_1\). Обе части неравенства \(x_2 > x_1\) — неотрицательные числа, поэтому по свойству числовых неравенств \(x_2^2 > x_1^2\), т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Ответ: функцию \(f\), для которой при любых значениях \(x_1\) и \(x_2\) из этого промежутка таких, что \(x_2 > x_1\), выполняется неравенство \(f(x_2) > f(x_1)\).

Функцию \(f\) называют убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента \(x_1\) и \(x_2\) из этого промежутка таких, что \(x_2 > x_1\), выполняется неравенство \(f(x_2) < f(x_1)\). Иначе говоря, на этом промежутке большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: при движении по оси абсцисс слева направо график функции идёт вниз.

Например, функция \(y = \frac{6}{x}\) убывает на промежутке \((0;\ +\infty)\). Действительно, пусть \(x_1\) и \(x_2\) — произвольные значения аргумента из этого промежутка, причём \(x_2 > x_1\). Тогда по свойству числовых неравенств \(\frac{1}{x_2} < \frac{1}{x_1}\). Умножим обе части этого неравенства на положительное число 6, знак неравенства сохранится:

\(\dfrac{1}{x_2} < \dfrac{1}{x_1}; \qquad | \cdot 6\)
\(\dfrac{6}{x_2} < \dfrac{6}{x_1}.\)

Значит, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Ответ: функцию \(f\), для которой при любых значениях \(x_1\) и \(x_2\) из этого промежутка таких, что \(x_2 > x_1\), выполняется неравенство \(f(x_2) < f(x_1)\).

Функцию называют возрастающей, если она возрастает на всей своей области определения.

Например, функция \(f(x) = 2x + 1\) с областью определения \((-\infty;\ +\infty)\) — возрастающая. Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — произвольные значения аргумента, причём \(x_2 > x_1\). Тогда

\(f(x_2) - f(x_1) = (2x_2 + 1) - (2x_1 + 1) = 2(x_2 - x_1).\)

Так как \(x_2 - x_1 > 0\), то \(2(x_2 - x_1) > 0\), т. е. \(f(x_2) > f(x_1)\). Возрастающей является и функция \(y = \sqrt{x}\).

Функция \(y = x^2\) возрастающей не является: например, \(-3 < 1\), но \((-3)^2 > 1^2\), т. е. большему значению аргумента здесь соответствует меньшее значение функции.

Ответ: функцию, которая возрастает на всей своей области определения.

Функцию называют убывающей, если она убывает на всей своей области определения.

Например, функция \(f(x) = -3x + 5\) с областью определения \((-\infty;\ +\infty)\) — убывающая. Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — произвольные значения аргумента, причём \(x_2 > x_1\). Тогда

\(f(x_2) - f(x_1) = (-3x_2 + 5) - (-3x_1 + 5) = -3(x_2 - x_1).\)

Так как \(x_2 - x_1 > 0\), то \(-3(x_2 - x_1) < 0\), т. е. \(f(x_2) < f(x_1)\). Убывающей является и функция \(y = -x\).

Функция \(y = \frac{1}{x}\) убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\), но убывающей не является: при \(x_1 = -2\) и \(x_2 = 3\) выполняется неравенство \(x_2 > x_1\), однако \(\frac{1}{3} > -\frac{1}{2}\), т. е. \(\frac{1}{x_2} > \frac{1}{x_1}\).

Ответ: функцию, которая убывает на всей своей области определения.