Вопросы после параграфа §12 на странице 113, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1. Опишите, как с помощью интеграла можно вычислить объём пирамиды. 2. Опишите, как с помощью интеграла можно вычислить объём тела вращения.
Если сечение тела плоскостью \(x = x_0\), перпендикулярной оси абсцисс, — фигура площадью \(S(x_0)\), проекция тела на ось абсцисс — отрезок \([a;\ b]\) и функция \(y = S(x)\) непрерывна на \([a;\ b]\), то объём тела \(V = \int\limits_{a}^{b} S(x)\,dx\).
Пусть пирамида имеет высоту \(h\) и основание площадью \(S\); вершина пирамиды — в начале координат, высота — на положительной полуоси абсцисс, тогда проекция пирамиды на ось абсцисс — отрезок \([0;\ h]\). Сечение пирамиды плоскостью \(x = x_0\), где \(0 < x_0 \leqslant h\), параллельно основанию и подобно ему с коэффициентом подобия \(\frac{x_0}{h}\), поэтому \(\frac{S(x_0)}{S} = \frac{x_0^2}{h^2}\), откуда \(S(x_0) = \frac{x_0^2}{h^2}S\). Тогда
\[V = \int\limits_{0}^{h} \frac{x^2}{h^2}S\,dx = \frac{S}{h^2} \cdot \frac{x^3}{3}\Big|_{0}^{h} = \frac{S}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}Sh.\]
Ответ: вершину пирамиды помещают в начало координат, а её высоту \(h\) — на положительную полуось абсцисс; сечение плоскостью \(x = x_0\) подобно основанию площадью \(S\) с коэффициентом \(\frac{x_0}{h}\) и имеет площадь \(S(x_0) = \frac{x_0^2}{h^2}S\), поэтому объём пирамиды \(V = \int\limits_{0}^{h} \frac{x^2}{h^2}S\,dx = \frac{1}{3}Sh\).
Пусть функция \(f\) непрерывна и неотрицательна на отрезке \([a;\ b]\). При вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции \(f\) и прямыми \(x = a\), \(x = b\), \(y = 0\), образуется тело вращения; его сечение плоскостью \(x = x_0\), где \(x_0 \in [a;\ b]\), — круг радиуса \(f(x_0)\) площадью \(S(x_0) = \pi f^2(x_0)\), поэтому объём тела
\[V = \int\limits_{a}^{b} S(x)\,dx = \pi\int\limits_{a}^{b} f^2(x)\,dx.\]
Ответ: если фигура, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке \([a;\ b]\) функции \(f\) и прямыми \(x = a\), \(x = b\), \(y = 0\), вращается вокруг оси абсцисс, то объём полученного тела \(V = \pi\int\limits_{a}^{b} f^2(x)\,dx\): сечение тела плоскостью \(x = x_0\) — круг площадью \(\pi f^2(x_0)\).
1. Опишите, как с помощью интеграла можно вычислить объём пирамиды. 2. Опишите, как с помощью интеграла можно вычислить объём тела вращения.
Объём тела находят через площади его сечений. Пусть сечение тела плоскостью \(x = x_0\), перпендикулярной оси абсцисс, — фигура площадью \(S(x_0)\), проекция тела на ось абсцисс — отрезок \([a;\ b]\) и функция \(y = S(x)\) непрерывна на \([a;\ b]\). Тогда объём тела \(V = \int\limits_{a}^{b} S(x)\,dx\).
Пусть пирамида имеет высоту \(h\) и основание площадью \(S\). Систему координат вводят так, чтобы вершина пирамиды совпала с началом координат, а высота лежала на положительной полуоси абсцисс. Тогда основание лежит в плоскости \(x = h\), а проекция пирамиды на ось абсцисс — отрезок \([0;\ h]\). Сечение пирамиды плоскостью \(x = x_0\), где \(0 < x_0 \leqslant h\), параллельно основанию, поэтому оно подобно основанию с коэффициентом подобия \(\frac{x_0}{h}\). Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: \(\frac{S(x_0)}{S} = \frac{x_0^2}{h^2}\), откуда \(S(x_0) = \frac{x_0^2}{h^2}S\). Тогда
\[V = \int\limits_{0}^{h} \frac{x^2}{h^2}S\,dx = \frac{S}{h^2} \cdot \frac{x^3}{3}\Big|_{0}^{h} = \frac{S}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}Sh.\]
Например, объём пирамиды с основанием площадью 12 и высотой 5 равен \(\frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 5 = 20\).
Ответ: вершину пирамиды помещают в начало координат, а её высоту \(h\) — на положительную полуось абсцисс; сечение плоскостью \(x = x_0\) подобно основанию площадью \(S\) с коэффициентом \(\frac{x_0}{h}\) и имеет площадь \(S(x_0) = \frac{x_0^2}{h^2}S\), поэтому объём пирамиды \(V = \int\limits_{0}^{h} \frac{x^2}{h^2}S\,dx = \frac{1}{3}Sh\).
Пусть функция \(f\) непрерывна на отрезке \([a;\ b]\) и принимает на нём неотрицательные значения. При вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции \(f\) и прямыми \(x = a\), \(x = b\), \(y = 0\), образуется тело вращения. Его сечение плоскостью \(x = x_0\), где \(x_0 \in [a;\ b]\), — круг радиуса \(f(x_0)\), площадь которого \(S(x_0) = \pi f^2(x_0)\). Поэтому объём тела
\[V = \int\limits_{a}^{b} S(x)\,dx = \pi\int\limits_{a}^{b} f^2(x)\,dx.\]
Например, при вращении вокруг оси абсцисс треугольника, ограниченного прямыми \(y = x\), \(y = 0\) и \(x = 3\), образуется тело объёмом \(V = \pi\int\limits_{0}^{3} x^2\,dx = \pi \cdot \frac{x^3}{3}\Big|_{0}^{3} = 9\pi\).
Ответ: если фигура, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке \([a;\ b]\) функции \(f\) и прямыми \(x = a\), \(x = b\), \(y = 0\), вращается вокруг оси абсцисс, то объём полученного тела \(V = \pi\int\limits_{a}^{b} f^2(x)\,dx\): сечение тела плоскостью \(x = x_0\) — круг площадью \(\pi f^2(x_0)\).
